ஆஸ்கி-வில்சன் பல்லுறுப்புக்கோவைகள்

கணிதத்தில், ஆஸ்கி-வில்சன் பல்லுறுப்புக்கோவைகள்(Askey–Wilson polynomials) என்பது q- வில்சன் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் என அழைக்கப்படுகிறது. இவை ஆஸ்கி என்பார் அறிமுகப்படுத்திய ஆஸ்கி and வில்சன் (1985) செங்குத்து பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வகையாகும். வில்சன் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் q-ஒப்புமைகளாகும் . ஆஸ்கி திட்டத்தில் விவரிக்கப்பட்டுள்ள சிறப்பு அல்லது கட்டுப்படுத்தும் நிகழ்வுகளாக 1 மாறியில் உள்ள பல செங்குத்து பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அடங்கும். ஆஸ்கி-வில்சன் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் என்பது மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் (அல்லது கூர்ன்விண்டர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ) வகையின் (குறைக்கப்படாத அபைன் மூலங்களின அமைப்புக்கான சிறப்பு வகை), மற்றும் அவற்றின் 4 அளவுருக்கள் (C^∨
₁,C₁) ,a, b, c, dஆகியவை இந்த மூலங்கள் அமைப்பின் மூலங்கள் 4 மையத்திற்கு ஒத்திருக்கும.மற்றும் அவற்றின் }ஆகியவை இந்த மூலங்கள் அமைப்பின் மூலங்கள் 4 மையத்திற்கு ஒத்திருக்கும். அவை கீழே உள்ளவாறு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன

$p_{n}(x)=p_{n}(x;a,b,c,d\mid q):=a^{-n}(ab,ac,ad;q)_{n}\;_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}q^{-n}&abcdq^{n-1}&ae^{i\theta }&ae^{-i\theta }\\ab&ac&ad\end{matrix}};q,q\right]$

இங்கு φ என்பது அடிப்படை மீபெருக்கல் சார்பு, x = cos θ, மற்றும் (,,,)_n என்பதுqபோச்சம்மர் குறியீடு. ஆஸ்கி-வில்சன்சார்புகள் என்பது தொகை இல்லா மதிப்புகளுக்கு பொதுமைப் படுத்தப்பட்டது.n.

நிரூபணம்

$p_{n}(\cos {\theta })=p_{n}(\cos {\theta };a,b,c,d\mid q)$

என்பது தெரிந்ததால் மட்டுமே இம் முடிவை நிரூபிக்க முடியும்.

q-போச்சமர் குறியீட்டின் வரையறையைப் பயன்படுத்துதல்

$p_{n}(\cos {\theta })=a^{-n}\sum _{\ell =0}^{n}q^{\ell }\left(abq^{\ell },acq^{\ell },adq^{\ell };q\right)_{n-\ell }\times {\frac {\left(q^{-n},abcdq^{n-1};q\right)_{\ell }}{(q;q)_{\ell }}}\prod _{j=0}^{\ell -1}\left(1-2aq^{j}\cos {\theta }+a^{2}q^{2j}\right)$

which leads to the conclusion that it equals இதில் φ என்பது ஒரு அடிப்படைமீபெருக்கல் சார்பு, x = cos θ, மற்றும் (,,,)n என்பது q -போச்சமர் குறியீடு . ஆஸ்கி-வில்சன் சார்புகள் n இன் ஒருங்கிணைந்த மதிப்புகளுக்கு பொதுமைப்படுத்தலாகும்.

$a^{-n}(ab,ac,ad;q)_{n}\;_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}q^{-n}&abcdq^{n-1}&ae^{i\theta }&ae^{-i\theta }\\ab&ac&ad\end{matrix}};q,q\right]$

மேற்கோள்கள்

• Askey, Richard; Wilson, James (1985), "Some basic hypergeometric orthogonal polynomials that generalize Jacobi polynomials", Memoirs of the American Mathematical Society, 54 (319): iv+55, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1090/memo/0319, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-8218-2321-7, பன்னாட்டுத் தர தொடர் எண் 0065-9266, MR 0783216
• Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Basic hypergeometric series, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 96 (2nd ed.), கேம்பிறிட்ஜ் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம், பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-521-83357-8, MR 2128719
• வார்ப்புரு:Dlmf
• Koornwinder, Tom H. (2012), "Askey-Wilson polynomial", Scholarpedia, 7 (7): 7761, Bibcode:2012SchpJ...7.7761K, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.4249/scholarpedia.7761