இசுடர்லிங் உட்கண எண்

கணிதத்தில் இசுடர்லிங் எண் என்பது இரண்டு வகையாகப் புழங்குகிறது. அவைகளில் ஒரு n-கணத்தை k உட்கணங்களாகப் பிரிக்கக்கூடிய வழிகளின் எண்ணிக்கை இர ண்டாவது வகை இசுடர்லிங் எண் அல்லது இசுடர்லிங் உட்கண எண் (Stirling Subset Number) எனப் பெயர் பெறும். இதற்குக் குறியீடு S(n,k) என்றோ அல்லது $\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}$ என்றோ பயன்படுத்தப்படுகிறது. இதை n-subset-k என்றோ n-உட்கணம்-k என்றோ உச்சரிக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக, $\left\{{\begin{matrix}4\\2\end{matrix}}\right\}$ = 7

ஏனென்றால், {a,b,c,d} போன்ற ஒரு 4-கணத்தின் இரண்டு உட்கணங்கள் கொண்ட பிரிவுகள்:

{a,b}/{c,d}; {a,c}/{b,d}; {a,d}/{b,c}; {a}/{b,c,d}; {b}/{a,c,d}; {c}/{a,b,d}; {d}/{a,b,c}

இவ்வெண்களின் முதல் சில மதிப்புகளின் அட்டவணையை ஸ்டர்லிங் எண்கள் என்ற கட்டுரையில் பார்க்கவும்.

மீள்வரு தொடர்பு

n > 0 என்றால்,

$\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}=k\left\{{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right\}+\left\{{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right\}$

n பொருட்களை உட்கணங்களாகப்பிரிக்கும்போது, ஏதாவதொரு குறிப்பிட்ட பொருளை ($x_{0}$ என்று சொல்லலாமே) கவனித்தால் அது ஒற்றையாகவே ஓர் உட்கணமாக இருந்தாலும் இருக்கலாம்; அல்லது ஏதாவது மற்றோர் உட்கணத்தோடு அதில் ஒன்றாக இருந்தாலும் இருக்கலாம். முதல் பட்சத்தில், மற்ற n-1 பொருள்கள் $\left\{{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right\}$ வழிகளில் உட்கணங்களாகப் பிரிகின்றன. இரண்டாவது பட்சத்தில் மற்ற n-1 பொருள்கள் $\left\{{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right\}$ வழிகளில் உட்கணங்களாகப்பிரிவதால், அவை ஒவ்வொன்றின் k உட்கணங்களில் ஏதாவதொன்றில் $x_{0}$ சேர்ந்துகொள்ளலாம். இதனுடைய உருவாக்கம்தான் மீள்வரு தொடர்பு (Recurrence Relation).

இறங்குமுகக் காரணியத்துடன் உறவு

n > 0 ஆக இருக்குமானால்,

(*): $x^{n}=\sum _{k}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}x(x-1)(x-2)...(x-k+1)$

இதற்கு இரண்டுவிதமாக நிறுவல் அளிக்கலாம். உய்த்தறிதல் (Induction) முறை ஒரு முறை. இன்னொன்று சேர்வியல் முறை.

சேர்வியல் முறையில் நிறுவல்: x ஒரு நேர்ம முழுஎண் என்று கொள். |X| = x, |N| = n இருக்கும்படி இரண்டு கணங்கள் X, N இருப்பதாகக் கொள். N இலிருந்து X க்குப்போகும் எல்லாக் கோப்புகளின் எண்ணிக்கை $x^{n}$. இதே எண்ணிக்கையை இப்பொழுது வேறுவிதமாகக் கணிப்போம்.

ஒரு குறிப்பிட்ட கோப்பைக் கவனி. இதனுடைய வீச்சில் (Range)அடங்கிய உறுப்புக்களின் எண்ணிக்கை k என்று கொள். இந்த குறிப்பிட்ட மதிப்புள்ள 'k'க்கு, $\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}$ வழிகளில் N இன் உறுப்புக்களை X இலுள்ள ஓர் உறுப்புக்குக் கோப்பிடலாம் (may be mapped).இவ்வழிகளில் ஒவ்வொன்றும் N ஐ உட்கணங்களால் பிரிக்கும் ஒரு பிரிவினை. ஒவ்வொரு பிரிவினையிலும் உள்ள ஒவ்வொரு பிரிவுக்கும் (அ-து. உட்கணத்திற்கும்) X இல் ஒரு பிம்பம் (Image) -- வெவ்வேறு பிரிவுக்கு வெவ்வேறு பிம்பம்--குறிப்பிடப்பட வேண்டும். இதற்குள்ள வழிகள்:

x(x - 1)(x - 2) ... (x - k +1). இப்படிச் செய்துவிட்டால் எல்லாக் கோப்புகளையும் கணக்கிட்டாய்விடும்.ஆக, k என்ற வீச்சையுடைய எல்லாக் கோப்புகளின் எண்ணிக்கை:

$\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}x(x-1)...(x-k+1).$

$x$ ஒரு நேர்ம முழு எண்ணாக இருக்கும்போது (*)இன் உண்மைக்கு இது நிறுவலாகிறது. ஆனால் இதனாலேயே, $x$ ஐ மாறியாகக் கொண்டால், (*) இன் இருபக்கங்களிலும் உள்ள பல்லுருப்புகள் $x$ இன் முடிவிலா எண்ணிக்கையுள்ள மதிப்புகளுக்கு உண்மையான சமன்பாடாகின்றன. இதன்பொருள் (*) ஒரு முற்றொருமைச் சமன்பாடு.

ஏறுமுகக் காரணியத்துடன் உறவு

(**) n > 0 ஆக இருக்குமானால்

$x^{n}=\sum _{k}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(-1)^{n-k}x(x+1)(x+2)...(x+k-1)$

இறங்குமுகக்காரணியத்துடன் உறவு (*) இல் காட்டப்பட்டது. அதனில் $x$ ஐ $(-x)$ ஆக மாற்றினால் (**) கிடைத்துவிடும்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• ஸ்டர்லிங் சுழல் எண்