இசுட்டெர்லிங் எண்கள்

கணிதத்தில் இசுடர்லிங் எண்கள் (Sterling numbers) இருவகைப்படும். ஒரு n-கணத்தை எத்தனை விதமாகச் சுழல்களாகப் பிரித்துக் காட்டலாம் என்ற பிரச்சினையை முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண்களாலும்,எத்தனை விதமாக உட்கணங்களாகப் பிரித்துக் காட்டலாம் என்ற பிரச்சினையை இரண்டாவது வகை ஸ்டர்லிங் எண்களாலும் ஆய்வு செய்யப்படுகிறது. ஜேம்ஸ் ஸ்டர்லிங் (1692 - 1770) என்ற ஸ்காட்லாந்து நாட்டுக் கணிதவியலர் 1730 இல் தன்னுடைய நூலில் இவைகளை அறிமுகப்படுத்தினார். ஆய்லர் எண்கள், ஈருறுப்புக் கெழுக்கள், பெல் எண்கள் -- இவைகளுடன் ஸ்டர்லிங் எண்கள் நெருங்கிய தொடர்பு கொண்டவை.

முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண்கள்

ஒரு n-கணத்தை k சுழல்களாகப் பிரிக்கக்கூடிய வழிகளின் எண்ணிக்கை முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண் எனப் பெயர் பெறும்.அதாவது எத்தனை n-திரிபுகள் k சுழல்களாலானவை என்ற கேள்விக்கும் இதே எண்ணிக்கைதான் விடை. இதற்கு ஒரு குறியீடு s(n,k). இக்கட்டுரையில் ${\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}$ என்ற குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவோம்.இதை n-cycle-k என்றோ n-சுழல்-k என்றோ உச்சரிக்கலாம். 1930 இல் காராமாடா என்பவரால் இக்குறியீடு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டு தற்காலத்தில் பரவலாக எங்கும் புழக்கத்திலுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டாக, ${\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}}$ = 11

ஏனென்றால், {a,b,c,d} போன்ற ஒரு 4-கணத்தின் இருசுழற்பிரிவுகள்:

a/bcd; a/bdc; b/cda; b/cad; c/dab; c/dba; d/abc; d/acb; ab/cd; ac/db; ad/bc

அண்மைக்காலத்தில் இவ்வெண் ஸ்டர்லிங் சுழல் எண் என்ற பெயராலும் குறிக்கப்பட்டு வருகிறது.

முதல்வகை எண்அட்டவணை

${\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}$

$n\downarrow k\rightarrow$	1	2	3	4	5	6	7
1	1
2	1	1
3	2	3	1
4	6	11	6	1
5	24	50	35	10	1
6	120	274	225	85	15	1
7	720	1764	1624	735	175	21	1

இரண்டாவது வகை ஸ்டர்லிங் எண்கள்

ஒரு n-கணத்தை k உட்கணங்களாகப் பிரிக்கக்கூடிய வழிகளின் எண்ணிக்கை இரண்டாவது வகை ஸ்டர்லிங் எண் எனப் பெயர் பெறும். இதற்கு ஒரு குறியீடு S(n,k). இக்கட்டுரையில் $\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}$ என்ற் குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவோம். இதை n-subset-k என்றோ n-உட்கணம்-k என்றோ உச்சரிக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக, $\left\{{\begin{matrix}4\\2\end{matrix}}\right\}$ = 7

ஏனென்றால், {a, b, c, d} போன்ற ஒரு 4-கணத்தின் இரு-உட்கணப்பிரிவுகள்:

{a}/{b,c,d}; {b}/{c,d,a}; {c}{d,a,b}; {d}{a,b,c}; {a,b}/{c,d}; {a,c}/{b,d}; {a,d}/{b,c}.

அண்மைக்காலத்தில் இவ்வெண் ஸ்டர்லிங் உட்கண எண் என்ற பெயராலும் குறிக்கப்பட்டு வருகிறது.

இரண்டாவது வகை எண் அட்டவணை

$\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}$

$n\downarrow k\rightarrow$	1	2	3	4	5	6	7
1	1
2	1	1
3	1	3	1
4	1	7	6	1
5	1	15	25	10	1
6	1	31	90	65	15	1
7	1	63	301	350	140	21	1

சில எளிதான பொதுவிளைவுகள்

• $n\geqslant 2$ ஆக இருந்தால் $\left\{{\begin{matrix}n\\2\end{matrix}}\right\}$ = $2^{n-1}-1$.

• $n\geqslant 1$ ஆக இருந்தால் ${\begin{bmatrix}n\\1\end{bmatrix}}$ = $(n-1)!$

• ${\begin{bmatrix}n\\n\end{bmatrix}}$ = $\left\{{\begin{matrix}n\\n\end{matrix}}\right\}$ = 1

• ${\begin{bmatrix}n\\n-1\end{bmatrix}}$ = $\left\{{\begin{matrix}n\\n-1\end{matrix}}\right\}$ = ${\binom {n}{2}}$

செங்குத்துத்தன்மை உறவுகள்

முதல் வகை, இரண்டாவது வகை ஆகிய இரண்டு ஸ்டர்லிங் எண்களுக்கும், இறங்குமுகக் காரணியத்துடன் உறவுகள் உள்ளன. முதல்வகை ஸ்டர்லிங் எண்ணில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள உறவிலிருந்து,

(*) $x(x-1)(x-2)...(x-n+1)=\sum _{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}(-1)^{n-k}x^{k}$.

இரண்டாவதுவகை ஸ்டர்லிங் எண்ணில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள உறவிலிருந்து,

(**) $x^{n}=\sum _{k}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}x(x-1)(x-2)...(x-k+1)$

(*)ஐ (**) இல் பொருத்தினால் நமக்குக் கிடைப்பது:

$x^{n}=\sum _{k}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}\sum _{m}{\begin{bmatrix}k\\m\end{bmatrix}}(-1)^{k-m}x^{m}$

= $\sum _{m}{\biggl (}\sum _{k}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}{\begin{bmatrix}k\\m\end{bmatrix}}(-1)^{k-m}{\biggr )}x^{m}$

ஆனால் $x^{n}$ பல்லுறுப்புகளெல்லாம் சேர்வியல் சார்பற்றவை.

ஃ (செ.உ.1): $\sum _{k}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}{\begin{bmatrix}k\\m\end{bmatrix}}(-1)^{k-m}=\delta _{nm}$. இங்கு $\delta _{nm}={\begin{cases}1,n=m\\0,n\neq m\end{cases}}$.

மாற்றாக, (**)ஐ (*) இல் பொருத்தி, பல்லுறுப்புகள் x(x-1)(x-2)...(x-n+1) சேர்வியல் சார்பற்றவை என்பதைப் பயன்படுத்தினால், நமக்குக்கிடைப்பது, இதற்கு இணையான் இன்னொரு செங்குத்துத்தன்மை உறவு (Orthogonality Relation):

ஃ (செ.உ.2):$\sum _{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}\left\{{\begin{matrix}k\\m\end{matrix}}\right\}(-1)^{n-k}=\delta _{nm}$

ஸ்டர்லிங் எண்களைப்பற்றிய மற்ற தேற்றங்களையும் மீள்வரு தொடர்புகளையும் முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண், இரண்டாவது வகை ஸ்டர்லிங் எண் என்ற தனிக்கட்டுரைகளில் பார்க்கவும்.