எண்கோட்பாட்டில் ஆய்லர் எண் கள் (Euler numbers ) En என்பவை முழு எண்களில் அமைந்த ஒரு தொடர்வரிசை ((OEIS -இல் வரிசை A122045 )
) ஆகும். இவ்வெண்கள் பின்வரும் டெய்லர் தொடர் விரிவால் தரப்படுகின்றன:
1
cosh
t
=
2
e
t
+
e
−
t
=
∑
n
=
0
∞
E
n
n
!
⋅
t
n
{\displaystyle {\frac {1}{\cosh t}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}}\cdot t^{n}\!}
இதில் cosh t என்பது அதிபரவளையச் கொசைன் சார்பாகும்.
ஒற்றைக் குறியெண் கொண்ட ஆய்லர் எண்கள் அனைத்தும் பூச்சியமாகும் . இரட்டைக் குறியெண் கொண்ட ஆய்லர் எண்கள் ((OEIS -இல் வரிசை A028296 )
) ஒன்றுவிட்டு ஒன்று மாறுபட்ட குறியுடையவை:
E 0 = 1E 2 = −1E 4 = 5E 6 = −61E 8 = 1,385E 10 = −50,521E 12 = 2,702,765E 14 = −199,360,981E 16 = 19,391,512,145E 18 = −2,404,879,675,441 .....சீக்கெண்ட் மற்றும் அதிபரவளைய சீகெண்ட் சார்புகளின் டெய்லர் தொடர் விரிவுகளில் ஆய்லர் எண்கள் காணப்படுகின்றன.
ஆய்லர் எண்களுக்கான சில வாய்ப்பாடுகள்:
E
2
n
=
i
∑
k
=
1
2
n
+
1
∑
j
=
0
k
(
k
j
)
(
−
1
)
j
(
k
−
2
j
)
2
n
+
1
2
k
i
k
k
{\displaystyle E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}{\frac {(-1)^{j}(k-2j)^{2n+1}}{2^{k}i^{k}k}}}
இங்கு i கற்பனை அலகு ; i 2 =−1.
E
2
n
=
(
2
n
)
!
∑
0
≤
k
1
,
…
,
k
n
≤
n
(
K
k
1
,
…
,
k
n
)
δ
n
,
∑
m
k
m
(
−
1
2
!
)
k
1
(
−
1
4
!
)
k
2
⋯
(
−
1
(
2
n
)
!
)
k
n
,
{\displaystyle E_{2n}=(2n)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq n}~\left({\begin{array}{c}K\\k_{1},\ldots ,k_{n}\end{array}}\right)\delta _{n,\sum mk_{m}}\left({\frac {-1~}{2!}}\right)^{k_{1}}\left({\frac {-1~}{4!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left({\frac {-1~}{(2n)!}}\right)^{k_{n}},}
[ 1]
E
2
n
=
(
−
1
)
n
−
1
(
2
n
−
1
)
!
∑
0
≤
k
1
,
…
,
k
n
≤
2
n
−
1
(
K
k
1
,
…
,
k
n
)
δ
2
n
−
1
,
∑
(
2
m
−
1
)
k
m
(
−
1
1
!
)
k
1
(
1
3
!
)
k
2
⋯
(
(
−
1
)
n
(
2
n
−
1
)
!
)
k
n
,
{\displaystyle E_{2n}=(-1)^{n-1}(2n-1)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq 2n-1}\left({\begin{array}{c}K\\k_{1},\ldots ,k_{n}\end{array}}\right)\delta _{2n-1,\sum (2m-1)k_{m}}\left({\frac {-1~}{1!}}\right)^{k_{1}}\left({\frac {1}{3!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left({\frac {(-1)^{n}}{(2n-1)!}}\right)^{k_{n}},}
[ 2]
K
=
k
1
+
⋯
+
k
n
{\displaystyle K=k_{1}+\cdots +k_{n}}
(
K
k
1
,
…
,
k
n
)
≡
K
!
k
1
!
⋯
k
n
!
{\displaystyle \left({\begin{array}{c}K\\k_{1},\ldots ,k_{n}\end{array}}\right)\equiv {\frac {K!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}}
E
2
n
=
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
|
1
2
!
1
1
4
!
1
2
!
1
⋮
⋱
⋱
1
(
2
n
−
2
)
!
1
(
2
n
−
4
)
!
1
2
!
1
1
(
2
n
)
!
1
(
2
n
−
2
)
!
⋯
1
4
!
1
2
!
|
.
{\displaystyle {\begin{aligned}E_{2n}&=(-1)^{n}(2n)!~{\begin{vmatrix}{\frac {1}{2!}}&1&~&~&~\\{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&1&~&~\\\vdots &~&\ddots ~~&\ddots ~~&~\\{\frac {1}{(2n-2)!}}&{\frac {1}{(2n-4)!}}&~&{\frac {1}{2!}}&1\\{\frac {1}{(2n)!}}&{\frac {1}{(2n-2)!}}&\cdots &{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}
|
E
2
n
|
>
8
n
π
(
4
n
π
e
)
2
n
.
{\displaystyle |E_{2n}|>8{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n}.}
