இயல் மடக்கை

ஒரு எண்ணின் மடக்கையின் அடிமானம் e ஆக இருக்கும்போது அந்த மடக்கை இயல் மடக்கை (natural logarithm) எனப்படுகிறது. இங்கு e ஆனது விகிதமுறா எண்ணாகவும் விஞ்சிய எண்ணாகவும் உள்ள கணித மாறிலியாகும். e இன்அதன் தோராய மதிப்பு 2.718.281828. எண் x இன் இயல் மடக்கை ln x அல்லது log_e x என எழுதப்படுகிறது. சிலசமயங்களில் அடிமானம் e இல்லாமல் சுருக்கமாக log x எனவும் எழுதப்படுகிறது. மடக்கை காணும் எண்ணானது ஒரு தனிஎண்ணாக இல்லாதபோது, தெளிவாகக் காட்டுவதற்காக அடைப்புக்குறிகளைப் பயன்படுத்தி ln(x), log_e(x), log(x) என்றும் எழுதப்படுவதும் வழக்கம்.

இயல் மடக்கைச் சார்பின் வரைபடம். x இன் மதிப்பு அதிகரிக்க, அதிகரிக்க வளைவரை +$\infty$யையும், x சுழியை அணுகும்போது -$\infty$யையும் நோக்கிச் செல்கிறது. வளைவரைக்கு y-அச்சு அணுகுகோடாக உள்ளது.

x க்குச் சமமான மதிப்பை அடைய e இன் அடுக்கை எந்த எண்ணுக்கு உயர்த்த வேண்டியிருக்குமோ அந்த எண்ணே x இன் இயல் மடக்கை ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

• ln(7.5) = 2.0149... ஏனென்றால் e^2.0149...=7.5.
• ln(e) = 1 ஏனென்றால் e¹ = e,
• ln(1) = 0 ஏனென்றால் e⁰ = 1.

இயல் மடக்கையை குறிப்பிட்ட வளைவரையின்கீழ், குறிப்பிட்ட எல்லைக்குட்பட்ட பரப்பளவாகவும் கூறலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

a ஏதாவது ஒரு நேர் மெய்யெண் எனில், log_e a இன் மதிப்பு, y = 1/x என்ற வளைவரையின்கீழ், 1 முதல் a வரையிலான பரப்பளவாகும்.

இயல் மடக்கையின் வரையறையை எதிர் எண்களுக்கும், சுழியற்ற சிக்கலெண்களுக்கும் நீட்டிக்கலாம். மெய்யெண் மாறியின் மெய்மதிப்புச் சார்பாக எடுத்துக்கொள்ளப்படும்போது, இயல் மடக்கைச் சார்பானது அடுக்கேற்றச் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பாக இருக்கும். இதிலிருந்து பெறப்படும் முற்றொருமைகள்:

$e^{\ln(x)}=x\qquad {\mbox{if }}x>0\,\!$

$\ln(e^{x})=x.\,\!$

பிற மடக்கைகளைப் போன்றே இயல் மடக்கையும் பெருக்கலைக் கூட்டலாக மாற்றுகிறது.

$\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y).\!\,$

நேர்மெய்யெண் பெருக்கல் குலத்திலிருந்து, மெய்யெண் கூட்டல் குலத்திற்கு வரையறுக்கப்படும் சம அமைவியமாக (சம அமைவியம்) மடக்கைச் சார்பு அமையும் ($\ln \colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} .$).

அடிமானம் e க்கு மட்டுமில்லாமல் எண் 1 ஐத் தவிர பிற நேரெண் அடிமானங்களுக்கும் மடக்கையை வரையறுக்கலாம். அவ்வாறு பிற அடிமானங்களுக்கு வரையறுக்கப்படும் மடக்கைகள் இயல் மடக்கையிலிருந்து ஒரு மாறிலி மடங்கால் மட்டுமே வேறுபடும்.

எடுத்துக்காட்டு:

$\log _{2}(x)={\frac {\log _{e}(x)}{\log _{e}(2)}}.\,$

இயல் மடக்கை
குறியீடு	$\ln x\,$
நேர்மாறு	$e^{x}\,$
வகைக்கெழு	${\frac {1}{x}}\,$
வரையறா தொகையீடு	$x\ln x-x+C\,$

குறியீடுகள்

x இன் இயல் மடக்கையைக் குறிப்பதற்கு "ln x", "log_e x" ஆகிய இரு குறியீடுகளும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. "log x" என அடிமானம் குறிக்கப்படாத குறியீடும் பொதுவாக இயல் மடக்கையையே குறிக்கும். எனினும் சிலசமயங்களில் அடிமானம் 10 க்குரிய x மடக்கையைக் குறிப்பதற்கும் "log x" பயன்படுத்தப்படுகிறது.

வரையறை

f(x) = 1/x சார்பின் வளைவரையின் கீழ் 1 முதல் a வரையிலமையும் பரப்பளவாக ln(a) வரையறுக்கப்படுகிறது. a < 1 எனில், a முதல் 1 வரையிலான பரப்பளவு எதிர்மதிப்பு கொண்டதாகும்.

தொகையீடாக ln(a) பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

$\ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.$

$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b).\,\!$ என்ற மடக்கையின் பண்பை இது நிறைவு செய்கிறது:

${\begin{aligned}\ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx\\&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{at}}\;d(at)\\&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\;dt\\&=\ln(a)+\ln(b).\end{aligned}}$

ln(a) = 1 ஆக அமையும் தனித்த மெய்யெண் a ஆக கணித மாறிலி e ஐ வரையறுக்கலாம். மாறாக படிக்குறிச் சார்பு முதலில் வரையறுக்கப்பட்டால், இயல் மடக்கையை அடுக்கேற்றச் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பாக வரையறுக்கலாம் (exp(ln(x)) = x).

பண்புகள்

• $\ln(1)=0\,$
• $\ln(-1)=i\pi \,$
• $\ln(x)<\ln(y)\quad {\rm {for}}\quad 0<x<y\,$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1\,$
• $\ln(x^{y})=y\,\ln(x)\,$
• ${\frac {x-1}{x}}\leq \ln(x)\leq x-1\quad {\rm {for}}\quad x>0\,$
• $\ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\rm {for}}\quad x\geq 0,\alpha \geq 1\,$