அடுக்கேற்றம்

அடுக்கேற்றம் (Exponentiation) என்பது ஒரு கணிதச் செயல். இதை bn என்று குறிப்பது வழக்கம். இதில், b என்பதை அடிமானம் அல்லது அடி எனவும், nஅடுக்கு அல்லது படி எனவும் அழைப்பர். n நேர் முழு எண்ணாக இருக்கும்போது, அடுக்கேற்றம், bn தடவைகள் தொடர்ச்சியாகப் பெருக்குவதாக இருக்கும்.[1]

அடி b இன் வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கு y = bx சார்பின் வரைபடம்:
 
 10 அடிமானம்,
 
 e அடிமானம்,
 
 2 அடிமானம்,
 
 1/2 இன் அடிமானம்.
எந்தவொரு எண்ணையும் 0 அடுக்குக்கு உயர்த்தும்போது அதன் மதிப்பு 1 என்பதால் படத்திலுள்ள ஒவ்வொரு கோட்டுருவும் (0, 1) என்ற புள்ளி வழியேச் செல்கிறது. எந்தவொரு எண்ணின் அடுக்கும் 1 ஆக இருந்தால் அதன் மதிப்பு அதே எண்ணாக இருக்கும் என்பதால் x = 1 எனும்போது y இன் மதிப்பு அந்தந்த அடிமான எண்களுக்குச் சமமாக இருக்கிறது.

பொதுவாக அடுக்கானது, அடிமான எண்ணின் வலப்பக்கத்தில் மேலெழுத்தாகக் குறிக்கப்படும். bn என்னும் அடுக்கேற்றத்தை b இன் n ஆவது அடுக்கு என்றோ, b இன் n ஆம் படி என்றோ வாசிப்பது வழக்கம்.[2][1][3] சில இடங்களில் சில அடுக்கேற்றங்கள் அவற்றுக்கே உரிய தனியான சொற்களால் குறிப்பிடப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக b இன் அடுக்கு இரண்டு (b2) என்பது b இன் வர்க்கம் எனவும், b இன் அடுக்கு 3 (b3) என்பது b இன் கனம் எனவும் குறிக்கப்படுகிறது.

  • b1 = b
  • m, n இரு நேர்ம எண்களெனில்,
bnbm = bn+m.

இப்பண்பினை நேர்மமில்லா முழு எண்களுக்கும் நீட்டிக்கக் கீழுள்ள முடிவுகள் வரையறுக்கப்படுகின்றன:

b0 = 1
bn = 1/bn (n நேர்ம எண்; b பூச்சியமற்ற எண்) குறிப்பாக,
b−1 = 1/b (b இன் பெருக்கல் நேர்மாறு).

மெய்யெண் மற்றும் சிக்கலெண் அடுக்குகளுக்கும் அடுக்கேற்றத்தை நீட்டிக்கலாம். முழு எண் அடுக்கேற்றமானது அணிகள் உட்பட பல இயற்கணித அமைப்புகளுக்கு வரையறுக்கப்படுகிறது. பொருளியல், உயிரியல், வேதியியல், இயற்பியல், கணினியியல் போன்ற பலதுறைகளில் அடுக்கேற்றம் பயன்படுகிறது.

சொல்லியல்தொகு

b அலகு பக்க நீளங்கொண்ட சதுரத்தின் பரப்பளவு b2 ஆகும். எனவே b2 = bb என்பது " b இன் வர்க்கம் என அழைக்கப்படுகிறது. இதேபோல b பக்க நீளங்கொண்ட கனசதுரத்தின் கனவளவு b3 என்பதால் b3 = bbb ஆனது " b இன் கனம்" என அழைக்கப்படுகிறது.

அடுக்கு ஒரு இயல் எண்ணாக இருக்கும்போது அது, அடி எண்ணை மீண்டும் மீண்டும் எத்தனை முறை பெருக்கவேண்டும் என்பதைக் குறிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக,

35 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 243.

35 என்பது "3 இன் அடுக்கு 5" அல்லது 3 இன் 5 ஆம் அடுக்கு என வாசிக்கப்படுகிறது. பொதுவாக bn என்பதுதை "b இன் n ஆம் அடுக்கு" என வாசிக்க வேண்டும்.

முழு எண் அடுக்குகள்தொகு

முழு எண் அடுக்குகளுடைய அடுக்கேற்றச் செயல் எண்கணிதச் செயல்களைக் கொண்டு வரையறுக்கப்படுகிறது.

நேர்ம அடுக்குகள்தொகு

  மற்றும்   ஆகிய இரு அடிப்படை முடிவுகளைக்கொண்டு நேர்ம முழுவெண் அடுக்கேற்றம் வரையறுக்கப்படுகிறது[4]. மேலும் பெருக்கலின் சேர்ப்புப் பண்பின்படி கீழ்வரும் முடிவு பெறப்படுகிறது:

m, n இரு நேர்ம முழுவெண்களெனில்,

 

பூச்சிய அடுக்குதொகு

பூச்சியமற்ற எந்தவொரு முழுஎண்ணையும் அடுக்கு 0 க்கு உயர்த்தும்போது அதன் மதிப்பு 1 ஆகிறது:[5][1]

 

எதிர்ம அடுக்குகள்தொகு

b பூச்சியமற்றது எனில் கீழ்வரும் முற்றொருமை உண்மையாகும்:

  (n ஒரு முழுவெண்).[1]

பூச்சியத்தை எதிர்ம அடுக்குக்கு உயர்த்துவது வரையறுக்கப்படவில்லை, சில சூழல்களில் அதன் மதிப்பு முடிவிலியாகக் () கருதப்படுகிறது. இந்த முற்றொருமையைப் பின்னுள்ளவாறு வருவிக்கலாம்.

b பூச்சிய மதிப்பற்றது; n ஒரு நேர்ம முழு எண் எனில் கிடைக்கும் மீள்வரு தொடர்பு:

 

இதனை மாற்றியெழுத:

 

எந்தவொரு பூச்சியமற்ற b மற்றும் முழுவெண் n இரண்டுக்கும் இம்மீள்வரும் தொடர்பை உண்மையானதாக வரையறுக்க:

 
 

முற்றொருமைகளும் பண்புகளும்தொகு

அடி எண் பூச்சியமற்றதாக இருக்கும்பொழுது எந்தவொரு முழுவெண் அடுக்கிற்கும் கீழுள்ள முற்றொருமைகள் பொருந்தும்:[1]

 
(23)4 = 84 = 4096
2(34) = 281 = 2417851639229258349412352.
  • அடுக்கேற்றத்தில் அடைப்புக்குறிகள் தரப்படாமல் இருந்தால், மேலொட்டுக்களில் செயலியை அமல்படுத்தும் வரிசை முறை கீழிலிருந்து மேலாக (இடது சேர்ப்பு) இல்லாமல் மேலிருந்து கீழாக ( வலது- சேர்ப்பு) அமையும்.[6]

[7][8][9]

அதாவது:

 

இது   இலிருந்து வேறுபட்ட ஒன்றாகும்.

குறிப்புகள்தொகு

  1. 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Nykamp, Duane. "Basic rules for exponentiation". Math Insight. August 27, 2020 அன்று பார்க்கப்பட்டது.
  2. "Compendium of Mathematical Symbols". Math Vault (in ஆங்கிலம்). 2020-03-01. 2020-08-27 அன்று பார்க்கப்பட்டது.
  3. Weisstein, Eric W. "Power". mathworld.wolfram.com (in ஆங்கிலம்). 2020-08-27 அன்று பார்க்கப்பட்டது.
  4. Hodge, Jonathan K.; Schlicker, Steven; Sundstorm, Ted (2014). Abstract Algebra: an inquiry based approach. CRC Press. பக். 94. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-1-4665-6706-1. https://books.google.com/books?id=qToTAgAAQBAJ&pg=PA94. 
  5. Achatz, Thomas (2005). Technical Shop Mathematics (3rd ). Industrial Press. பக். 101. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-8311-3086-2. https://books.google.com/books?id=YOdtemSmzQQC&pg=PA101. 
  6. "A report on primes of the form k · 2n + 1 and on factors of Fermat numbers". Proceedings of the American Mathematical Society (University of California, Berkeley, California, USA) 9 (5): 673–681 [677]. October 1958. doi:10.1090/s0002-9939-1958-0096614-7. http://www.ams.org/journals/proc/1958-009-05/S0002-9939-1958-0096614-7/S0002-9939-1958-0096614-7.pdf. பார்த்த நாள்: 2020-06-28. 
  7. "2.4.1.1. Definition arithmetischer Ausdrücke". written at Leipzig, Germany (in de). Taschenbuch der Mathematik. 1. Weiß, Jürgen (23 ). Thun, Switzerland / Frankfurt am Main, Germany: Verlag Harri Deutsch (and B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig). 1987. பக். 115–120, 802. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:3-87144-492-8. "Regel 7: Ist F(A) Teilzeichenreihe eines arithmetischen Ausdrucks oder einer seiner Abkürzungen und F eine Funktionenkonstante und A eine Zahlenvariable oder Zahlenkonstante, so darf F A dafür geschrieben werden. [Darüber hinaus ist noch die Abkürzung Fn(A) für (F(A))n üblich. Dabei kann F sowohl Funktionenkonstante als auch Funktionenvariable sein.]" 
  8. Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel W.; Boisvert, Ronald F. ஏனையோர்., தொகுப்பாசிரியர்கள் (2010). NIST Handbook of Mathematical Functions. National Institute of Standards and Technology (NIST), U.S. Department of Commerce, கேம்பிறிட்ஜ் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம். பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-521-19225-5. [1] பரணிடப்பட்டது 2013-07-03 at Archive.today
  9. de:Eberhard Zeidler, தொகுப்பாசிரியர் (2013) (in de). Springer-Handbuch der Mathematik I. I (1 ). Berlin / Heidelberg, Germany: Springer Spektrum, Springer Fachmedien Wiesbaden. பக். 590. doi:10.1007/978-3-658-00285-5. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-3-658-00284-8.  (xii+635 pages)
"https://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=அடுக்கேற்றம்&oldid=3353093" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது