பெருக்கல் நேர்மாறு

கணிதத்தில் ஒரு எண் x -ன் பெருக்கல் நேர்மாறு அல்லது (multiplicative inverse) தலைகீழி (reciprocal) என்பது x உடன் பெருக்கப்படும்போது கிடைக்கும் பெருக்கற்பலன் 1 என வருமாறு உள்ள ஒரு எண். x -ன் பெருக்கல் தலைகீழியின் குறியீடு: 1/x அல்லது x⁻¹. விகிதமுறு எண் a/b -ன் பெருக்கல் தலைகீழி b/a.ஒரு மெய்யெண்ணின் பெருக்கல் தலைகீழி காண 1 -ஐ அந்த எண்ணால் வகுக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டாக:

5 -ன் பெருக்கல் தலைகீழி 1/5 அல்லது 0.2 (தசம வடிவில்).
0.25 -ன் பெருக்கல் தலைகீழி 1/0.25 அல்லது 4 (முழு எண் வடிவில்)

x -ஐ 1/x -உடன் இணைக்கும் தலைகீழிச் சார்பு f(x) தனக்குத்தானே நேர்மாறாக அமையும் சார்புகளுக்கு ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டு.

கிட்டத்தட்ட, என்சைக்ளோபீடியா பிரிட்டானிக்கா (Encyclopædia Britannica) (1797) புத்தகத்தின் மூன்றாவது பதிப்பின் காலத்திலிருந்து reciprocal என்ற வார்த்தை பெருக்கற்பலன் 1 ஆக உள்ள இரு எண்களைக் குறிக்கப் பயன்பட்டு வந்திருக்க வேண்டும். யூக்ளிடின் எலிமெண்ட்ஸ் புத்தகத்தின் 1570 -ம் ஆண்டு மொழிபெயர்ப்பில் வடிவவியலில்ஒன்றுக்கொன்று எதிர்விகிதசமனில் அமையும் இரு கணியங்களைக் குறிப்பதற்கு reciprocall எனப் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது.^[1]

எடுத்துக்காட்டுகளும் மாற்று எடுத்துக்காட்டுகளும்

மெய்யெண்களில் பூச்சியத்திற்குப் பெருக்கல் தலைகீழி கிடையாது. ஏனென்றால் பூச்சியத்துடன் சேர்த்துப் பெருக்கப்படும்போது 1 கிடைக்கக்கூடிய மெய்யெண்கள் எதுவுமே இல்லை.

பூச்சியத்தைத் தவிர்த்து,

ஒவ்வொரு கலப்பெண்ணின் தலைகீழியும் ஒரு கலப்பெண்
ஒவ்வொரு மெய்யெண்ணின் தலைகீழியும் ஒரு மெய்யெண்
ஒவ்வொரு விகிதமுறு எண்ணின் தலைகீழியும் ஒரு விகிதமுறு எண்

கூட்டல் நேர்மாறும் பெருக்கல் நேர்மாறும் ஒரே எண்ணாகவுடையவை கலப்பெண்ணின் புனை அலகுகள் ± $i$ மட்டுமே.

$i$ -ன் கூட்டல் நேர்மாறு: −( $i$ ) = − $i$

i

-ன் பெருக்கல் நேர்மாறு: 1/

i

= −

i

,

− $i$ -ன் கூட்டல் நேர்மாறு: −(− $i$ )= $i$

−

i

-ன் பெருக்கல் நேர்மாறு: 1/−

i

=

i

,

ஒரு சதுர அணியின் அணிக்கோவைக்கு கெழுவளையத்தில் நேர்மாறு இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அந்த அணிக்கு நேர்மாறு இருக்கும்.

முக்கோணவியல் சார்புகளுக்கு தலைகீழிகள் உள்ளன.

ஒரு சார்பு ƒ -ன் பெருக்கல் நேர்மாறு அல்லது தலைகீழி 1/ƒ

சார்புகளின் சேர்ப்புச் செயலைப் பொறுத்த, நேர்மாறுச் சார்பு ƒ⁻¹. (ƒ⁻¹ = ƒ o ƒ⁻¹ = id.)

இவை இரண்டும் ஒன்றல்ல. இரண்டும் வெவ்வேறானவை என்பதைத் தெளிவாக அறிந்திருத்தல் அவசியம். நேரியல் கோப்புகளில் மட்டுமே இவ்விரண்டு கருத்துகளும் நெருங்கிய தொடர்புடையன. மற்ற சார்புகளைப் பொறுத்தவரையில் இவை இரண்டும் அறவே வெவ்வேறானவை.

மேற்கோள்கள்

↑ " In equall Parallelipipedons the bases are reciprokall to their altitudes". OED "Reciprocal" §3a. Sir Henry Billingsley translation of Elements XI, 34.

உசாத்துணை

Maximally Periodic Reciprocals, Matthews R.A.J. Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications vol 28 pp 147–148 1992

[1] " In equall Parallelipipedons the bases are reciprokall to their altitudes". OED "Reciprocal" §3a. Sir Henry Billingsley translation of Elements XI, 34.

[1]