இராமானுசன் கணிதத்துளிகள்: இராமானுசன் இரட்டை

16 வயதுக்குள் கணித இயலர் என்ற தகுதியை தனக்குள் அடைந்து 32 வயதே வாழ்ந்த சீனிவாச இராமானுஜன், உலகத்தை வியக்கச் செய்த ஒப்பரிய பெரும் கணித மேதை. இராமானுஜனுடைய கணித மேதையை எடுத்துக்காட்டக் கூடியதாகவும் கணிதத்தில் திறன் இல்லாதவர்களும் ஓரளவு புரிந்து கொள்ளக்கூடியதாகவும் ஒரு கணிதத்துளி இராமானுசன் இரட்டை யைப்பற்றிய வரலாறு.

மூன்று ஆய்வுக் குறிப்பேடுகள்

உலகப்புகழ் பெற்ற மூன்று 'நோட்புக்குகளில்' இராமானுசன் தன்னுடைய ஆய்வுகளைக் குறித்து வைத்திருந்தார். இவையெல்லாம் அவருடைய பள்ளிநாட்களிலிருந்தே எழுதி வந்தது. 1985இலிருந்து 2005 வரையில், ப்ரூஸ் பர்ண்ட் என்பவருடைய விரிவான குறிப்புகளுடன் இவை ஐந்து புத்தகங்களாக வெளிவந்திருக்கின்றன. அவைகளில் 3542 தேற்றங்கள் இருக்கின்றனவென்றும், ஏறக்குறைய 2000க்கும் மேற்பட்ட தேற்றங்கள் அவர் வாழ்ந்த காலத்திற்கு முன்னால் கணித உலகிற்குத் தெரியாத தேற்றங்கள் தான் என்றும் சொல்கிறார் ப்ரூஸ் பர்ண்ட்.[1] பரணிடப்பட்டது 2007-06-13 at the வந்தவழி இயந்திரம். இதனில் இரண்டாவது நோட்புக்கில், மூன்றாவது அத்தியாயத்தில் 29ம் குறிப்பு தான் இந்த இராமானுசன் இரட்டைக்கு அடிப்படை.

அடிக்கப்பட்ட குறிப்பு

இக்குறிப்பு சொல்வது:

${\frac {1}{(1-x^{2})(1-x^{3})(1-x^{5})(1-x^{7})(1-x^{11})(1-x^{13})......}}$

= $1+{\frac {x^{2}}{1-x}}+{\frac {x^{2+3}}{(1-x)(1-x^{2})}}+{\frac {x^{2+3+5}}{(1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})}}+{\frac {x^{2+3+5+7}}{(1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})(1-x^{4})}}+......$

இக்குறிப்பின் விசேஷமே இது எழுதப்பட்டு அடிக்கப்பட்டும் இருப்பதுதான். இராமானுசன் எதற்கு இதை எழுதினார், எதற்கு அடித்தார் என்பதை சற்று தீர ஆராய்ந்தால் தான் புரியும்.

சமன்பாட்டின் இருபக்கங்களிலுமுள்ள கோவைகளை $x$ இன் அடுக்குகளடங்கிய தொடர்களால் விரிப்பதாகக் கொள்வோம். அப்பொழுது நமக்குக் கிடைக்கக் கூடியது:

$1+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+......=1+d_{2}x^{2}+d_{3}x^{3}+d_{4}x^{4}+......$

இதனில் எல்லா $c_{i}$ ம் அவைகளுக்கொத்த $d_{i}$ க்கு சமமாயிருந்தால் தான் சமன்பாட்டின் இருபக்கக்கோவைகளும் சமம் என்பது உறுதியாகும். இராமானுசன் அவைகள் சமம் என்று நினைத்துத்தான் நோட்புக்கில் எழுதியிருக்க வேண்டும். மேலுள்ள சமன்பாட்டில் நாமே $c_{1}=d_{1},c_{2}=d_{2}...$ என்று முதல் சில $c_{i},d_{i}$ க்களை சரிபார்க்கலாம். $c_{20}=d_{20}$ வரையில் இது உண்மை. ஆனால் $c_{21}\neq d_{21}.$

இராமானுசன் எதையும் தனியாக ஒரு கரும்பலகையிலோ காகிதத்திலோ எழுதிச் சரிபார்த்து அதற்குப் பிறகு தன் நோட்புக்கில் எழுதிவைத்ததாகத் தெரியவில்லை. அவர் நோட்புக்கைப் பார்த்தால் அவ்வப்பொழுது மனதில் தோன்றுவதை அதில் அப்படியப்படியே எழுதிவைத்ததாகத் தான் தெரிகிறது. அதனால் இந்த சமன்பாட்டை எழுதிக்கொண்டே போகும்போதே மனதால் அவர் சரிபார்த்துக் கொண்டே போயிருக்கவேண்டும். சமன்பாட்டை எழுதிமுடித்த அந்த நேரத்திற்குள் அவர் 21 வது கெழுக்கள் சமமில்லை என்று மனதில் தெரிந்துகொண்டிருக்கவேண்டும். உடனே அந்த சமன்பாட்டை அடித்திருப்பார் என்று தான் நாம் ஊகிக்கவேண்டியிருக்கிறது! அல்லது அவருக்கென்று தனியாக வேறு முறையில் அச்சமன்பாட்டைச் சரிபார்க்கும் வழி இருந்திருக்கவேண்டும். எப்படியிருந்தாலும் அவருடைய கணிதக் கணிப்புத் திறனுக்கு இது ஒரு சிறிய சான்று.

அடித்த குறிப்பிற்கும் ஆய்வுப்பயன்

சமன்பாடு அடிக்கப்பட்டாலும் ஆய்வாளர்கள் அதை விடவில்லை. இரண்டுதொடர்களை இராமானுசன் இரட்டை என்று எப்பொழுது சொல்லலாம் என்று ஓர் இலக்கணம் வகுத்தார்கள். சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்திலுள்ள 2,3,5,7,11 ... முதலியவைகளை $\alpha _{i}$ களாலும் வலது பக்கத்திலுள்ள 2,3,5,7,11 ... முதலிய எண்களை $\beta _{i}$ களாலும் பதிலீடு செய்தால் எப்பொழுதெல்லாம் அச்சமன்பாடு சரியாகிறதோ அந்த தொடர் இரட்டை $\{\alpha _{i}\},\{\beta _{i}\}$ஐ இராமானுசன் இரட்டை என்று பெயரிட்டார்கள். இப்பொழுது ஆய்வுக்குகந்த கேள்வி: இராமானுசன் இரட்டைத் தொடர்கள் எவை? $\{2,3,5,7,11,...\},\{2,3,5,7,11...\}$ நிச்சயமாக இராமானுசன் இரட்டை இல்லை.

இராமானுசனுடைய நோட்புக்குகளைப் பற்றி பெர்ண்ட் எழுதிய புத்தகத்தில் (பாகம் 1, பக்கம் 130)இராமானுசன் இரட்டைகளின் அதிசயத்தைப் பற்றி எழுதும்போது ஜி.ஈ.ஆண்ட்ரூஸ் 4 இரட்டைகளும், ஹிர்ஷ்ஹோர்ன் 2 இரட்டைகளும், ப்ளெக்ஸ்மித், ப்ரில்ஹரி, கெர்ஸ்ட் இம்மூவரும் சேர்ந்து 2 இரட்டைகளும் கண்டுபிடித்திருக்கிறர்கள் என்றும், ப்ளெக்ஸ்மித் பிற்பாடு கணினியில் சோதித்துப் பார்த்ததில் இந்தப் பத்து இரட்டைகளைத் தவிர வேறு இரட்டைகள் இருக்கமுடியாது என்று தெரியவந்ததாகவும் கூறியிருக்கிறார்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• இராமானுசன் கணிதத்துளிகள்

துணைநூல்கள்

Bruce C.Berndt. Note Books of Srinivasa Ramanujan, Part 1. 2005. Springer.