இலகுராஞ்சியின் நான்கு இருமடியெண் தேற்றம்

இலகுராஞ்சியின் (லாக்ராஞ்சியின்) நான்கு இருமடியெண் தேற்றம் (Lagrange's Four-square Theorem):

இத்தேற்றத்தின் கூற்று: ஒவ்வொரு முழு எண்ணும் நான்கு இருமடி எண்களின் கூட்டுத்தொகை.

எ.கா.: $77=6^{2}+6^{2}+2^{2}+1^{2};$

$200=10^{2}+8^{2}+6^{2}+0^{2}$

இது முதலில் ஃபெர்மா நிறுவலில்லாமல் முன்மொழிந்தார், பின்னர் 1770 இல் இலகுராஞ்சி இதனை நிறுவினார்.

பொதுமையாக்கங்கள்

இத்தேற்றம் எண்கோட்பாட்டில் பல பொதுமையாக்கங்களுக்கு அடிப்படையாகவுள்ளது. எடுவர்டு வாரிங்கு என்பவர் 1772 இல் ஒரு உய்மானத்தை (ஒருயூகத்தை)க் கணித உலகின் முன் வைத்தார்:

(வாரிங்கு யூகம்) ஒவ்வொரு முழு எண்ணும் 9 முப்படிய அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகையாகவும், 19 நாற்படிய அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகையாகவும் எழுதப்படக்கூடும்.

ஜி.ஹெச்.ஹார்டி, $g(k)$ என்ற ஒரு எண்ணை உண்டாக்கினார். அதாவது, எத்தனை குறைந்த எண்ணிக்கை கொண்ட k-அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகையாக எல்லா முழு எண்களையும் சொல்லமுடியுமோ அந்த எண்ணிக்கை $g(k)$யாகும்.

இதன்படி வாரிங்கு யூகத்தை $g(2)\leq 4;g(3)\leq 9;g(4)\leq 19$ என்று சொல்லலாம்.

இவைகளில் $g(2)$ ஐப்பற்றிய யூகத்தை

7 = 4 + 1 + 1 + 1

என்பதாலும், இலகுராஞ்சியின் தேற்றத்தாலும், $g(2)=4$ என்றே திட்டவட்டமாகச் சொல்லமுடியும்

இராமானுசனின் பொதுவாக்கம்

பிரச்சினை: $a,b,c,d$ முழு எண்களாகவும்,$n$ ஒரு நேர்ம முழு எண்ணாகவும் கொண்டால்

$n=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dw^{2}$ என்ற சமன்பாட்டை

$x,y,z,w$ முழு எண்களாக இருக்கும்படி எப்பொழுதும் தீர்வு செய்யமுடியுமா?

$a=1=b=c=d$ என்ற நிலைதான் இலகுராஞ்சியின் நான்கு இருமடியெண் தேற்றம்.

மற்ற எல்லா நிலைகளுக்கும் இராமானுசன் கொடுத்த தீர்வு: எல்லா $n$-மதிப்புகளுக்கும் தீர்வு கிடைக்க ${a,b,c,d}$ என்ற கணத்திற்கு 54 விதங்களில் மதிப்பு கொடுக்கமுடியும். 55வது விதமும் இராமானுசனால் சொல்லப்பட்டது. ஆனால் அது $n=15$ என்ற ஒரு $n$-மதிப்பிற்கு ஒத்து வரவில்லை.