வாரிங் தேற்றம்

$10=2^{3}+1^{3}+1^{3}$

$100=4^{3}+3^{3}+2^{3}+1^{3}$

$2007=12^{3}+6^{3}+3^{3}+3^{3}+2^{3}+1^{3}$

இப்படி எல்லா முழு எண்களையும் முப்படியங்களின் கூட்டுத்தொகையாகச் சொல்லமுடியுமா? முடியும் என்றும் ஒவ்வொரு எண்ணுக்கும் ஒன்பது முப்படியங்களுக்குமேல் வேண்டியிருக்காது என்றும் வாரிங் என்பவர் யூகித்தார். கணிதத்தில் எண்கோட்பாட்டுப்பிரிவில் வாரிங் தேற்றம் என்பது முதலில் வாரிங் யூகங்களாக அறிமுகமானது. இருபதாம் நூற்றாண்டில் இது எண் கோட்பாட்டில் பல பயனுள்ள ஆய்வுகளை ஊக்குவித்தது.

வாரிங் யூகம்

லாக்ராஞ்சியின் நான்கு-வர்க்கத்தேற்றத்தினால் உந்தப்பட்டு வாரிங் இந்த யூகத்தை கணித உலகின் முன் வைத்தார்:

ஒவ்வொரு முழு எண்ணும் 9க்கு மிகையாகாத எண்ணிக்கையில் அத்தனை முப்படியங்களின் கூட்டுத்தொகையாகும்.

ஒவ்வொரு முழு எண்ணும் 19க்கு மிகையாகாத எண்ணிக்கையில் அத்தனை நாற்படியங்களின் கூட்டுத்தொகையாகும்.

எ.கா. $4^{3}+2^{3}+5.1^{3}=77=2^{4}+2^{4}+2^{4}+2^{4}+13.1^{4}$

$2^{3}+2^{3}+7.1^{3}=23=2^{4}+7.1^{4}$

$3^{3}+3^{3}+2^{3}+2^{3}+2^{3}+1^{3}=79=2^{4}+2^{4}+2^{4}+2^{4}+15.1^{4}$

ஹில்பர்ட்டின் தேற்றம்

வாரிங் யூகத்தைப்பின்பற்றி ஹில்பர்ட் ஒரு கேள்வியை எழுப்பி அதற்கு விடையும் அளித்தார். ஒவ்வொரு முழு எண் $n$ க்கும் அதனுடன் உறவுபடுத்தக்கூடிய ஒரு எண் $s$ வாரிங் யூகத்தில் சொல்லிய பண்புடன் , அதாவது,

(*) $n=s$ க்கு மிகையாகாத எண்ணிக்கையில் $k$-அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகை

என்ற பண்புடன், இருக்குமா? இருக்கும் என்று அவர் நிறுவிக் காட்டினார். (இது வெகு கடினமான நிறுவல்). இத்தேற்றத்திற்கு ஹில்ப்ர்ட்-வாரிங் தேற்றம் என்று பெயர்.

இதன் தொடர்ச்சியாக ஹில்பர்ட் $g(k)$ என்ற ஒரு எண்ணை உண்டாக்கினார். அவருடைய தேற்றத்தின்படி 'இருக்கும்' என்று நிறுவப்பட்ட எல்லா $s$ இலும் மீச்சிறு எண்ணுக்கு $g(k)$ என்று பெயர் கொடுத்தார்.

இதன்படி லாக்ராஞ்சியின் நான்கு வர்க்கத்தேற்றத்தை இப்படிச் சுருக்கிச் சொல்லலாம்:

$g(2)\leq 4$

மேலும், 7 = 4 + 1 + 1 + 1 என்ற எடுத்துக்காட்டைப் பார்த்தால், மீச்சிறு எண் என்ற பண்பையுடைய $g(2$) நான்குக்கும் குறைந்து இருக்கமுடியாது என்று தெரிகிறது. அதனால், $g(2)=4$.

g(3) இன் கதை

$g(3)\leq 9$ என்பது வாரிங் யூகம். ஆனால் 23 க்கு 9 முப்படியங்கள் தேவைப்படுவதால், எல்லா எண்களுக்கும் பொதுவான மீச்சிறு எண்ணான g(3) ஒன்பதுக்குக் குறைந்து இருக்கமுடியாது. அது ஒன்பது தானா என்பதுதான் யூகம். அது ஒன்பதுதான் என்று 1910 இல் நிறுவப்பட்டது. ஆக g(3) = 9.

ஹில்பர்ட் தேற்றத்தையொட்டி மேலும் ஆய்வு

ஹில்பர்ட் தேற்றத்தை ஒட்டி g(k) இனுடைய மதிப்புகளை திட்டவட்டமாகக் கண்டுபிடிப்பும் ஆய்வு சூடுபட்டது.

$k\geq 7$ என்ற எல்லா k க்கும் பிள்ளையும் டிக்ஸனும் தனித்தனியாக ஏறக்குறைய ஒரே சமயத்தில் g(k) ஐக்கணித்தார்கள். g(6) = 73 என்று 1940 இல் பிள்ளையும், g(5) = 37 என்று 1964 இல் சென் ஜிங் ரன் னும் கண்டுபிடித்தனர். g(4) மாத்திரம் கணிதவியலாளர்களுக்குப் பல ஆண்டுகள் பிடிபடாமலே இருந்து கடைசியில் 1986 இல் டெஷோல்லர்ஸ், டிரஸ், பாலசுப்ரமணியன் மூவரும் சேர்ந்து கூட்டாக அதைத் தீர்மானித்தனர். $10^{367}$ ஐ விடப்பெரிய எல்லா முழு எண்களும் 19 4-அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகை என்று முதலில் நிறுவிக் காட்டினர். பிறகு கணினியின் உதவியால் $10^{367}$ க்குக்கீழுள்ள எல்லா எண்களும் 19 4-அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகைதான் என்று உறுதிப்படுத்திக்கொண்டனர். ஆக, g(4) = 19 என்பது உறுதியானது. வாரிங் யூகங்கள் எல்லாம் உண்மை என்று முடிவாயின.

g(k) என்ற கருத்திலும் ஒரு திருத்தம்

$g(k)$ ஐ விட இன்னும் ஒரு சுவையான எண் உண்டாக்கப்பட்டது. ஒவ்வொரு எண்ணும் முப்படியங்களின் கூட்டுத்தொகை என்ற பிரச்சினையை மறுபடியும் பார். ஒவ்வொரு எண்ணும் 9 அல்லது அதற்குக் குறைவான முப்படியங்களின் கூட்டுத்தொகை எனக் கண்டோம். ஆனால் ஆழ்ந்து பார்த்தால், 23, 239 (= $6.8^{3}+4^{3}+2.1^{3}$) என்ற இரண்டே இரண்டு எண்களைத் தவிர மீதமுள்ள எல்லா எண்களுக்கும் எட்டு முப்படியங்களே போதுமானது என்று கண்டு கொள்ளலாம். இன்னும் ஆழ்ந்து சோதித்தால், இன்னும் ஒரு 15 எண்கள் -- 15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 213, 238, 303, 364, 420, 428, மற்றும் 454—தான் எட்டு முப்படியங்களின் கூட்டுத்தொகை யாக உள்ளன. இதர எண்களுக்கெல்லாம், அதாவது 455 இலிருந்து எல்லா எண்களுக்கும் ஏழு முப்படியங்களே போதுமானதாக உள்ளன என்று தெரியவருகிறது. இன்னும் 7 முப்படியங்கள் தேவைப்படும் எண்களைப் பட்டியலிட்டால் அவைகளில் மீப்பெரும் எண் 8042 என்று தெரிய வருகிறது.

இதிலிருந்து நமக்கு என்ன தெரிகிறது? இந்த முப்படியங்களின் கூட்டுத்தொகை என்ற வாரிங் பிர்ச்சினையில் 9 என்ற எண் அவ்வளவு முக்கியமல்ல. பல்லாயிரக்கணக்கான் எண்கள் இருக்கும் போது, இரண்டே இரண்டு எண்களுக்குத்தான் 9 முப்படியங்கள் தேவைப்படுகின்றன, இன்னும் ஒரு பதினைந்தே எண்களுக்குத்தான் எட்டு முப்படியங்கள் தேவைப்படுகின்றன ... என்றெல்லாம் அறியும்போது, இந்த குறிப்பிட்ட எண்களின் சில தற்செயலான பண்புகளைப் பொருத்ததுதான் இந்த 9, 8 முதலியவை. முடிவுறு எண்ணிக்கையிலுள்ள இந்த சில விதிவிலக்குகளை ஒதுக்கிவிட்டுப் பிரச்சினையை அணுகுவதுதான் தலையாய பிரச்சினை என்று கணிதவியலர்கள் தீர்மானித்தார்கள்.

இதனால் G(k) என்ற ஒரு எண்ணை உண்டாக்கினார்கள்.அதாவது மேலே விவரிக்கப்பட்ட முப்படியங்கள் பிரச்சினையில், எல்லா 'பெரிய' எண்களுக்கும் (8042 க்கு மேலுள்ள எல்லா எண்களுக்கும்) 7 முப்படியங்கள் போதுமானது என்று தெரிய வருவதால், இப்பெரிய எண்களைப் பற்றினவரையில் வாரிங் பிரச்சினைக்குகந்த எண் 7க்கு மிகையாகாது என்று சொல்லலாம். இவ்வெண்ணை G(3) என்று குறிப்பிட்டார்கள். ஆக, G(k) இன் வரையறை பின்வருமாறு:

$k$-அடுக்குகளின் ஒரு முடிவுறு எண்ணைவிடப் பெரிய எல்லா எண்களுக்கும் ஒவ்வும் ஒரு மீச்சிறு $s$ வாரிங் பண்புடன் இருந்தால் அதற்கு $G(k)$ என்று குறியிடப்படுகிறது.

அப்படியும் G(2) = 4, G(4) = 16 என்ற இரண்டு எண்கள் தான் திட்டவட்டமாகத் தீர்மானிக்கப்பட்டிருக்கின்றன. $4\leq G(3)\leq 8$ என்பதுதான் G(3)ஐப் பற்றித் தெரிந்த விஷயம்.

மேலும் பார்க்க

• சு. சி. பிள்ளை

துணை நூல்கள்

• Ivars Peterson's Math Trek பரணிடப்பட்டது 2007-06-11 at the வந்தவழி இயந்திரம்