எண்களின் முற்றிசைவுப் பகுதிகள்
கணிதத்தின் ஒரு முக்கியப் பிரிவான எண் கோட்பாட்டில் முற்றிசைவுப்பகுதிகள் (Congruence classes) என்பது ஒரு அடிப்படைக்கருத்து. 1801 இல் காஸ் என்ற ஜெர்மானியக்கணித வல்லுனர் எழுதிய 'Disquistiones Arithmeticae' என்ற அவருடைய நூலில் விவரிக்கப்பட்டது.
வரையறை
தொகுஎன்பதை ஒரு முழு எண் ணாகவும், என்பதை ஒரு நேர்ம முழு எண்ணாகவும் கொள். அப்பொழுது, (mod ) க்கு சமானமான (பார்க்க: சமானம், மாடுலோ n) எல்லா எண்களின் கணத்திற்கு (mod ) சமானப்பகுதி (Congruence class of a(mod n)) என்று பெயர். அதற்கு குறியீடு: . ஆக,
![{\displaystyle [a]_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2c171f6615cc759dc82cd74cc2de66566d0b930)
![{\displaystyle [a]_{n}=\{x\in \mathbf {Z} :x\equiv a(modn)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17d4b954ae703766e6a07254eaed46d70b969793)
முக்கிய விளைவு
தொகுகணிதத்தில் 'சமானம்' ( Mathematical Equivalence) என்ற கருத்து நிகழும்போதெல்லாம் எதிர்வு, சமச்சீர் , கடப்பு ஆகிய மூன்று உறவுகளும் அதனில் அடக்கம். பொதுவாக கணிதத்தில் எந்தெந்த கணத்தில் 'சமானம்' இம்முறையில் வரையறுக்கப் படுகிறதோ அங்கெல்லாம் அந்த கணம் சமானப் பகுதிகளாகப் பிரிவினைப்படும். எடுத்துக்காட்டைப் பார்த்தால் இது நன்கு விளங்கும்.
எடுத்துக்காட்டு
தொகு7 என்ற மட்டு (modulus)ஒன்றை எடுத்துக்கொள்வோம். மாடுலோ 7 என்ற அடிப்படையில் எல்லா முழு எண்களையும் பிரித்தால் பின்வரும் பகுதிகளாகப் பிரிவினைப்படும்:
- = { ..., -21, -14, -7, 0, 7, 14, 21, ...}
- = { ..., -20, -13, -6, 1, 8, 15, 22, ...}
- = { ..., -19, -12, -5, 2, 9, 16, 23, ...}
- = { ..., -18, -11, -4, 3, 10, 17, 24, ...}
- = { ..., -17, -10, -3, 4, 11, 18, 25, ...}
- = { ..., -16, -9, -2, 5, 12, 19, 26, ...}
- = { ..., -15, -8, -1, 6, 13, 20, 27, ...}
![{\displaystyle [0]_{7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f481ed1d281fd388e6f27fb817cfe0efa9950fe)
![{\displaystyle [1]_{7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c33b3da87cf6441cb15675fe2c9195c67add549)
![{\displaystyle [2]_{7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4baa2e908cd83427793fa2559a3f4d171347270)
![{\displaystyle [3]_{7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d073ac50929b7896a5a70c057297083cfeee8a61)
![{\displaystyle [4]_{7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbded76c0c8eeacf5a38080d160c516855979a8a)
![{\displaystyle [5]_{7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef4ec7ac81c993d0f4c470dd11173849445f792a)
![{\displaystyle [6]_{7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2df1b738fc3311f5f86d7cb4f4b526e91fc85891)
முற்றிசைவுப் பகுதிகளின் கணம்
தொகுஇப்பொழுது நமக்கு ஒரு புதிய கணம் கிடைத்திருக்கிறது. அதாவது:
![{\displaystyle \{[0]_{7},[1]_{7},[2]_{7},[3]_{7},[4]_{7},[5]_{7},[6]_{7}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a4da11106ecef399dc29974bfb42c683d5523b5)
இதை மாடுலோ 7 முற்றிசைவுப் பகுதிகளின் கணம் என்று சொல்வோம். குறியீடு . இதனில் முக்கியமாகக்குறிப்பிடப்படவேண்டியது:
2 இனுடைய முற்றிசைவுப் பகுதி, . இதையே 9 இனுடைய முற்றிசைவுப் பகுதியாகவும் சொல்லலாம். அதாவது . உண்மையில் அம்முற்றிசைவுப் பகுதியில் எந்த உறுப்பையும் ஒரு பிரதிநிதியாக எடுத்துக்கொள்ளலாம். இதனால்
![{\displaystyle [2]_{7}=[9]_{7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/288c92062d6227f9dd3edefc003eaefcb8760492)
- ... = .....
- ...
![{\displaystyle [-5]_{7}=[2]_{7}=[9]_{7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9df8f7fadc39ce8ec7d1570569644a49c2cb4b0)
![{\displaystyle [-21]_{7}=...=[0]_{7}....}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/588ce70e3b1ff1277b9e34523fb355d71ee84b61)
இவ்விதமே ஒவ்வொரு முழு எண் n ஐ வைத்தும் ஒரு என்ற ஒரு முற்றிசைவுப் பகுதிகணம் உண்டு பண்ணலாம். இதைச் சுருக்கமாக n-மாடுலோ எண்களின் கணம் (Set of integers modulo n) என்றும் சொல்வதுண்டு.
இப்பொழுது இல் கூட்டல், பெருக்கல் செயலிகளை வரையறுப்போம்.
கூட்டல் வரையறை
தொகு![{\displaystyle [a]_{n}+[b]_{n}=[a+b]_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f658c8e2c15e4785d644b442ece0a9ce3b2d0262)
அதாவது, இரண்டு முற்றிசைவுப் பகுதிகளில் ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் ஏதாவதொரு உறுப்பை (பிரதிநிதியை) எடுத்து அவைகளைக் கூட்டினால், அந்த கூட்டுத்தொகையின் முற்றிசைவுப் பகுதிதான் அவ்விரண்டு முற்றிசைவுப் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை. ஆக, உதாரணமாக,
![{\displaystyle [2]_{7}+[6]_{7}=[2+6]_{7}=[8]_{7}=[1]_{7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/750fe5801cf5841d6d575c164bdec0e19572e389)
- க்கு பதிலாக, ஐயும், க்கு பதிலாக ஐயும் எடுத்தாலும்,
- என்ற அதே விடைதான் வரும்.
![{\displaystyle [9]_{7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e39dc38ab13441d87685d539a00d72dfbe543b6d)
![{\displaystyle [-15]_{7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/850ab8dc277c7e295ba286418260b1857adbdb19)
![{\displaystyle [9]_{7}+[-15]_{7}=[9-15]=[-6]_{7}=[1]_{7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/706b9c6a8854d8469890cf6e780f966ae50f57e1)
பெருக்கல் வரையறை
தொகு![{\displaystyle [a]_{n}\times [b]_{n}=[a\times b]_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0536badcaa7e94045d199ed358958fdaa97165c4)
அதாவது, இரண்டு முற்றிசைவுப்பகுதிகளில் ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் ஏதாவதொரு உறுப்பை (பிரதிநிதியை) எடுத்து அவைகளைப் பெருக்கினால், அந்த பெருக்குத்தொகையின் முற்றிசைவுப் பகுதிதான் அவ்விரண்டு முற்றிசைவுப் பகுதிகளின் பெருக்குத்தொகை. ஆக, உதாரணமாக,
- க்கு பதிலாக, ஐயும், க்கு பதிலாக ஐயும் எடுத்தாலும்,
- என்ற அதே விடைதான் வரும்.
![{\displaystyle [2]_{7}\times [6]_{7}=[2\times 6]_{7}=[12]_{7}=[5]_{7}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16535aa5e045b916585c25df8adf2345dd551eda)
![{\displaystyle [9]_{7}\times [-15]_{7}=[9\times (-15)]_{7}=[-135]_{7}=[-2]_{7}=[5]_{7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f72c31580269f7f7f93fd3c383c5080c9e8d070)
சுழி வகுப்பான் சுழி
தொகுஇலுள்ள என்ற உறுப்பு (முற்றிசைவுப் பகுதி) பின்வரும் பண்பைப் பெற்றதானால்,
- ஏதோ ஒரு முற்றிசைவுப் பகுதி க்கு,
- (அதனால் ம்) ஒரு சுழி வகுப்பான் சுழி மாடுலோ n (Divisor of Zero modulo n) எனப்பெயர் பெறும்.
![{\displaystyle [b]_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bf67aba79bfe645a09d422d89aa04a5f961edbf)
![{\displaystyle [a]_{n}\times [b]_{n}=[0]_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b410754b45534bb2b6ad8623c93c88d5e7d23c0)
எடுத்துக்காட்டாக,
![{\displaystyle [2]_{6}\times [3]_{6}=[0]_{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1926cf8dc6a60502625a64ca01303cf1730569ca)
- ம் ம் சுழிவகுப்பான் சுழிகள் மாடுலோ 6 ஆகும்.
![{\displaystyle \therefore [2]_{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27ade26febb55316104b041477175ad2f7666d67)
![{\displaystyle [3]_{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e746571ec68357eb9f0c81a34542e6cf96c47e36)
பெருக்கல் நேர்மாறு
தொகுஆக இருக்குமானால், ம் ம் ஒன்றுக்கொன்று பெருக்கல் நேர்மாறு எனப்படும்.
![{\displaystyle [a]_{n}\times [b]_{n}=[1]_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/681c6065da8dadd6a77fa10e550f8f1ead4eb416)
எடுத்துக்காட்டாக,
![{\displaystyle [3]_{7}\times [5]_{7}=[1]_{7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a0474fd1556bfefe5dff23d4d18e187c75f808)
- ம் ம் பெருக்கல் நேர்மாறுகளாகும்.
![{\displaystyle \therefore [3]_{7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1847312dc1f712fac46382741d81af1c2ffcdb7d)
சில விளைவுகள்
தொகு- ((a, n) = 1 அதாவது, a, n இரண்டுக்கும் 1 ஐத்தவிர வேறு பொதுக் காரணி கிடையாது என்றால், என்றால் தான்,
- [ க்கு ஒரு பெருக்கல் நேர்மாறு இருக்கும்.
![{\displaystyle a]_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81d28caa2d4cc9cebfccc9296a310dec4a1f844d)
- இலுள்ள சூனியமல்லாத ஓர் உறுப்பு பெருக்கல் நேர்மாறு பெற்றிருக்கும்; அல்லாவிட்டால் அது சுழிவகுப்பான் சுழியாக இருக்கும்.
- ஒரு நேர்ம முழுஎண் என்றால், பின்வரும் மூன்று வாசகங்களும் சமானம்:
- ஒரு பகா எண் (prime number).
- இல் ஐத்தவிர வேறு சுழிவகுப்பான் சுழி இருக்காது.
- இலுள்ள ஒவ்வொரு சூனியமல்லாத உறுப்புக்கும் ஒரு பெருக்கல் நேர்மாறு இருக்கும்.
![{\displaystyle [0]_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c19db4b5cd2ec4e9faec69cd87cb3d3b8d7ae36e)