எதிர்வு உறவு

கணிதத்தில் எதிர்வு உறவு (reflexive relation) என்பது ஒரு கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவு. இவ்வுறவின்கீழ் கணத்திலுள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் தன்னுடனே உறவு கொண்டிருக்கும். அதாவது S என்ற கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட உறவு ~ எதிர்வு உறவு எனில், S இல் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் x ~ x என்பது உண்மையாகும் (∀x∈S: x~x) ஒவ்வொரு மெய்யெண்ணும் தனக்குத்தானே சமமாக இருக்கும் என்பதால், மெய்யெண் கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட சமம் என்பது எதிர்வு உறவுக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. ஒரு எதிர்வு உறவானது, எதிர்வுத்தன்மை அல்லது எதிர்வுப் பண்பு கொண்டுள்ளதாகச் சொல்லப்படுகிறது.

தொடர்புள்ளவை

எதிர்வற்ற உறவு

ஒரு கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவின்கீழ் அக்கணத்தின் உறுப்புகள் எதுவும் தனக்குத்தானே உறவு உள்ளவையில்லை எனில் அவ்வுறவு எதிர்வற்ற உறவு ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, மெய்யெண் கணத்தின் மீதான "விடப் பெரியது" (x>y) என்ற உறவு எதிர்வுத்தன்மையற்றதாகும்.

எதிர்வு உறவாக அமையாத உறவுகள் அனைத்தும் எதிர்வற்றவையாக இருக்கும் எனக் கூறமுடியாது. சில உறுப்புகள் தமக்குத்தாமே உறவுள்ளவையாகவும், வேறு சில தமக்குக்தாமே உறவுவில்லாதவையாகவும் அமையும் வகையிலும் உறவுகள் வரையறுக்கப்படலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

" x , y இன் பெருக்குத்தொகை இரட்டை எண்" என்ற உறவு இரட்டை எண்களின் கணத்தில் எதிர்வு உறவாகவும், ஒற்றை எண்களின் கணத்தில் எதிர்வுத்தன்மை அற்றதாகவும், இயல் எண்களின் கணத்தில் இரண்டுவிதமாகவும் இல்லாமலும் உள்ளது.

போல்வு எதிர்வு உறவு

S கணத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட உறவு ~, போல்வு எதிர்வு உறவு (quasi-reflexive) எனில்:

∀x,y∈S: x~y ⇒ x~x ∧ y~y

எடுத்துக்காட்டு:

மெய்யெண் தொடர்முறைகள் கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட "சம எல்லைகள் கொண்டவை" என்ற உறவு போல்வு எதிர்வு உறவாகும். தொடர்முறைகள் அனைத்தும் எல்லை மதிப்புகள் கொண்டிருக்காது. எல்லை மதிப்பு இல்லாத தொடர்முறைகளும் உண்டு. எனவே இந்த உறவு எதிர்வுத்தன்மை அற்றதாகும். மற்றொரு தொடர்முறையின் எல்லை மதிப்புக்குச் சமமான எல்லையைக் கொண்ட தொடர்முறை, தனக்குத்தானே சம எல்லை கொண்டதாக இருக்கும்.

எதிர்வு அடைப்பு உறவு

S கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவு ~ இன் எதிர்வு அடைப்பு உறவு (reflexive closure - ≃) என்பது அதே கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட மிகச்சிறிய எதிர்வு உறவாகும்.எதிர்வு உறவு ~ , S கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட முற்றொருமை உறவு ஆகிய இரண்டின் ஒன்றிப்பாக இந்த எதிர்வு அடைப்பு உறவு இருக்கும்:

(≃) = (~) ∪ (=).

எடுத்துக்காட்டு: x<y இன் எதிர்வு அடைப்பு உறவு x≤y.

எதிர்வு ஒடுக்கம்

S கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட எதிர்வு உறவு ~ இன் எதிர்வு ஒடுக்கம் (reflexive reduction, irreflexive kernel -≆), ~ இன் எதிர்வு அடைப்பு உறவையே தனது எதிர்வு உறவாகக் கொண்டிருக்கும்.

எதிர்வு அடைப்பு உறவுக்கு எதிரானதாக இதைக் காணலாம். இது ~ இன் முற்றொருமை உறவின் நிரப்பிக்குச் சமானமானதாக இருக்கும். S கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட எதிர்வு உறவு ~ எனில்:

(≆) = (~) \ (=).

எடுத்துக்காட்டு: x≤y இன் எதிர்வு ஒடுக்கம் x<y.

எடுத்துக்காட்டுகள்

எதிர்வு உறவுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்:

• "சமன்"
• "உட்கணம்"
• "வகுக்கும்"
• "விடப் பெரியது அல்லது சமன்"
• "விடச் சிறியது அல்லது சமன்"

எதிர்வற்ற உறவுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்:

• "சமனின்மை"
• "சார்பகா முழுஎண்" (ஒன்றைவிடப் பெரிய முழுஎண்களுக்கு)
• "முறையான உட்கணம்"
• "விடப் பெரியது"
• "விடச் சிறியது"

எதிர்வு உறவுகளின் எண்ணிக்கை

n-உறுப்புகள் கொண்ட கணத்தில் வரையறுக்கப்படக் கூடிய எதிர்வு உறவுகளின் எண்ணிக்கை 2ⁿ²⁻ⁿ ஆகும்.

பல்வேறு n-உறுப்பு ஈருறுப்பு உறவுகளின் எண்ணிக்கை
n	அனைத்தும்	கடப்பு	எதிர்வு	முன்வரிசை உறவு	பகுதி வரிசை உறவு	முழு முன்வரிசை உறவு	முழு வரிசை உறவு	சமான உறவு
0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	2	1	1	1	1	1	1
2	16	13	4	4	3	3	2	2
3	512	171	64	29	19	13	6	5
4	65536	3994	4096	355	219	75	24	15
OEIS	A002416	A006905	A053763	A000798	A001035	A000670	A000142	A000110

மேற்கோள்கள்

• Levy, A. (1979) Basic Set Theory, Perspectives in Mathematical Logic, Springer-Verlag. Reprinted 2002, Dover. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-486-42079-5
• Lidl, R. and Pilz, G. (1998). Applied abstract algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-387-98290-6
• Quine, W. V. (1951). Mathematical Logic, Revised Edition. Reprinted 2003, Harvard University Press. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-674-55451-5
• Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-521-76268-7.

வெளியிணைப்புகள்

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Reflexivity", Encyclopedia of Mathematics, Springer, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-1556080104