சமன் (கணிதம்)

கணிதத்தில் சமன் அல்லது சமம் (equality) என்பது இரண்டு கணியங்கள் அல்லது இரண்டு கோவைகளுக்கு இடையேயான ஒரு உறவாகும். ஒரே மதிப்புடைய இரண்டு கணியங்கள் சமன் உறவால் இணைக்கப்படுகின்றன. அதேபோல ஒரே கணிதப் பொருளைக் குறிக்கும் இரு கோவைகள் சமன் உறவால் இணைக்கப்படுகின்றன.

A , B இரண்டும் சமம் என்பது A = B என எழுதப்பட்டு, 'A சமம் B' என வாசிக்கப்படுகிறது. "=" என்பது சமக் குறி என அழைக்கப்படுகிறது.

சொற்பிறப்பியல்

aequālis என்ற இலத்தின் மொழிச் சொல்லில் இருந்து தோன்றியது சமன் என்பதன் ஆங்கிலச் சொல்லான "equality" .

சமனின் வகைகள்

முற்றொருமைகள்

முதன்மைக் கட்டுரை: முற்றொருமை (கணிதம்)

A , B இரண்டும் சார்புகளைக் குறிக்கும்போது A = B எனில், A , B இரண்டும் ஒரே சார்பைக் குறிக்கும். சார்புகளுக்கு இடையேயான இந்த சமத்தன்மை சில சமயங்களில் முற்றொருமை என அழைக்கப்படுகிறது.

முற்றொருமைக்கான எடுத்துக்காட்டு:

$(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$

சர்வசமங்கள்

சில சமயங்களில் சமானமான இரு கணிதப் பொருட்கள், சமமானவையாகக் கொள்ளப்படுகின்றன. குறிப்பாக வடிவவியலில், ஒன்றின் மீது மற்றொன்று முற்றாகப் பொருந்தக் கூடிய இரு வடிவவியல் வடிவங்கள் சமமானவை எனப்படுகின்றன. இத்தகைய சமனைக் குறிப்பதற்கு சர்வசமம் (congruence) என்ற சொல்லும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

சமன்பாடுகள்

ஒரு சமன்பாட்டில் உள்ள மாறிகளின், சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் மதிப்புகளைக் காண்பதே அச்சமன்பாட்டின் தீர்வு ஆகும். மாறிகளின் குறிப்பிட்ட மதிப்புகளை மட்டுமே நிறைவு செய்யும் சம உறவாகவும் ஒரு சமன்பாடு அமையலாம். எடுத்துக்காட்டாக, x² + y² = 1 என்பது அலகு வட்டத்தின் சமன்பாடாகும். முற்றொருமையையும் சமன்பாட்டையும் பிரித்தறிவதற்கான தனிப்பட்டக் குறியீடு எதுவும் இல்லை, பொருளையும் சந்தர்ப்பத்தையும் கொண்டு அவற்றைப் பிரித்தறிந்து கொள்ளலாம்.

சமான உறவுகள்

முதன்மைக் கட்டுரை: சமான உறவு (கணிதம்)

சமனை ஒரு உறவாக எடுத்துக்கொள்ளும்போது, அது ஒரு கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட சமான உறவுக் கருத்துருவின் முன்மாதிரியாகும். முற்றொருமை உறவு (சமன்) ஒரு சமான உறவாகும். மறுதலையாக R ஒரு சமான உறவு; x R z என்றமையும் அனைத்து z களைக் கொண்ட x இன் சமானப் பகுதி x^R எனில், x^R = y^R உடன் x R y என்பது சமானமானதாக இருக்கும். எனவே எந்தவொரு கணத்தின் மீதும் வரையறுக்கப்பட்ட, மிகச்சிறிய சமானப் பகுதிகளைக் கொண்ட(ஒவ்வொரு சமானப் பகுதியும் ஓருறுப்பு கணமாகச் சுருங்கும்), சிறந்த சமான உறவாக, சமன் உறவு அமையும்.

பண்புகள்

பதிலிடல் பண்பு:

• a , b இரு கணியங்கள்; F(x) ஒரு கோவை என்க:

$a=b$ எனில், $F(a)=F(b)$

எடுத்துக்காட்டுகள்: a, b, c மூன்று மெய்யெண்கள், a = b எனில்:

• a + c = b + c (F(x) = x + c)
• a − c = b − c (F(x) = x − c)
• ac = bc (F(x) = xc)
• c ≠ 0, a/c = b/c (F(x) = x/c).

எதிர்வுப் பண்பு:

$\forall a,\quad a=a$

இப்பண்பு கணித நிறுவல்களில் இடைநிலைப் படியாக இப்பண்பு பயன்படுத்தப்படுகிறது.

சமச்சீர் பண்பு:

$\forall a,b,\quad a=b\Rightarrow b=a$

கடப்புப் பண்பு:

$\forall a,b,c\quad a=b\quad and\quad b=c\Rightarrow a=c$