சமானப் பகுதி

கணிதத்தில் ஒரு கணமும் அக்கணத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு சமான உறவும் தரப்பட்டால், அக்கணத்தின் ஏதேனும் ஒரு உறுப்பு a இன் சமானப் பகுதி (Equivalence class)என்பது அக்கணத்தில் a -க்குச் சமானமான உறுப்புகள் அனைத்தையும் கொண்ட உட்கணமாகும்.

குறியீடும் வரையறையும்

ஒரு கணம் X இன் மீது வரையறுக்கப்பட்ட சமான உறவு ~ எனில் அக்கணத்தின் ஏதேனுமொரு உறுப்பு a இன் சமானப் பகுதி $[a]$ எனக் குறிக்கப்படுகிறது. a உடன் இச்சமான உறவால் இணைப்புடைய X கணத்தின் உறுப்புகள் அடங்கிய கணம் a இன் சமானப் பகுதியென வரையறுக்கப்படுகிறது. இது X இன் உட்கணமாக இருக்கும்.

a இன் சமானப் பகுதி:

$[a]=\{x\in X\mid a\sim x\}$

a இன் சமானப் பகுதி $[a]_{R}$ எனவும் குறிக்கப்படுகிறது. இங்கு R என்பது சமான உறவு. இது a இன் R-சமானப்பகுதி.

~ சமான உறவைப் பொறுத்து, கணம் X இன் அனைத்து சமானப் பகுதிகளையும் அடக்கிய கணமானது, X இன் காரணி கணம் அல்லது ஈவு கணம் (quotient set) என அழைக்கப்படுகிறது. இதன் குறியீடு:

$X/\sim$.

கணத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் அதன் சமானப் பகுதியுடன் இணைக்கும் நியமன வீழல் கோப்பு' (canonical projection map) ஒன்று ஒவ்வொரு சமான உறவுக்கும் உண்டு. அக்கோப்பு (π) X இலிருந்து X/~ -க்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு முழுக்கோப்பாகும்:

$\pi \colon X\rightarrow X/\sim$

$\pi (x)=[x]$

எடுத்துக்காட்டுகள்

• கார்களின் கணத்தில் சமான உறவாக (~) ஒரே நிறத்திலுள்ள கார்கள் எனக் கொண்டால், ஒவ்வொரு சமானப் பகுதியும் பச்சை, ஊதா, சிவப்பு, மஞ்சள்... என ஒரே நிறத்தில் அமைந்த கார்களைக் கொண்ட கணமாக இருக்கும். மொத்த சமானப் பகுதிகளின் எண்ணிக்கை மூல கணத்திலுள்ள கார்களின் மொத்த நிறங்களின் எண்ணிக்கையாகும்.
• Z -முழு எண்கள் கணத்தில் மாடுலோ 2 எனும் சமான உறவின் சமானப் பகுதிகள் இரட்டை முழுஎண்களின் கணமும், ஒற்றை முழுஎண்களின் கணமும் ஆகும்.
• X என்பது இரண்டாவது எண்ணைப் பூச்சியமற்றதாகக் கொண்ட முழு எண்கள் வரிசைச் சோடிகளின் கணம்; இக்கணத்தில் சமான உறவு ~ பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

$ab=cd$ என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே,

$(a,b)\sim (c,d)$

இப்பொழுது வரிசைச் சோடி (a,b) இன் சமானப் பகுதி விகிதமுறு எண் ${\frac {a}{b}}$. இந்த சமான உறவையும் சமானப் பகுதியையும் கொண்டு விகிதமுறு எண்களின் கணத்தை வரையறுக்கலாம்.

பண்புகள்

X கணத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பு x -ம் அதன் சமானப்பகுதி [x] இன் ஒரு உறுப்பாகும். X கணத்தின் எந்த இரு சமானப் பகுதிகளும் ஒன்று சமமாக இருக்கும் அல்லது சேர்ப்பில்லாக் கணங்களாக இருக்கும். X கணத்தின் அனைத்து சமானப் பகுதிகளும் சேர்ந்து X இன் பிரிவினையாக அமையும்:

X இன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் ஒரேயொரு சமானப் பகுதியில் மட்டுமே இருக்கும். மறுதலையாக X இன் ஒவ்வொரு பிரிவும் ஒரு சமான உறவின் மூலம் கிடைக்கிறது. எனவே:

x , y எனும் இரு உறுப்புகள் கணத்தின் ஒரே பிரிவைச் சேர்ந்ததாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே x ~ y ஆக இருக்க முடியும். அதாவது:

x ~ y ⇔ [x] = [y].

கணம் X இன் மீது வரையறுக்கப்பட்ட சமான உறவு ~ , x , y கணத்தின் இரு உறுப்புகள் எனில் பின்வரும் மூன்று கூற்றுகளும் சமானமானவை:

• $x\sim y$
• $[x]=[y]$
• $[x]\cap [y]\neq \emptyset$.

மேற்கோள்கள்

• Weisstein, Eric W. "Equivalence Class." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.