எண்கணிதம்

எண் கணிதம் (Arithmetic) என்பது கணிதத்தின் ஒரு பிரிவு (அல்லது அதன் முன்னோடி) ஆகும். இது எண்களின் மீது செய்யப்படும் செய்முறைகளின் அடிப்படை இயல்புகளை விளக்குகிறது. வழமையான செய்முறைகள், கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் என்பனவாகும். வர்க்கம், வர்க்கமூலம் போன்ற உயர்நிலைச் செய்கைகளும் இவற்றுடன் சேர்க்கப்படுவதுண்டு. எண்கணிதக் கணிப்பு ஒரு செய்முறை ஒழுங்குக்கு அமையச் செய்யப்படுகின்றது.

இயற்கை எண்கள், முழு எண்கள், விகிதமுறு எண்கள் (பின்ன வடிவிலானவை) மற்றும் உண்மை எண்கள் (தசம எண்கள்) என்பவை தொடர்பான எண்கணிதம் பொதுவாக ஆரம்ப வகுப்பு மாணவர்களால் கற்கப்படுகின்றது. நூற்றுவீத அடிப்படையில் எண்களைப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தும் முறைகளும் இந் நிலையிலேயே கற்கப்படுகின்றன. பொதுவாகப் பெரும்பாலான நாடுகளில் ஆரம்பநிலை மாணவர்கள் கூட்டல் வாய்பாடு, பெருக்கல் வாய்பாடு என்பவற்றை மனனம் செய்வது கட்டாயமானது. இது வாழ்நாள் முழுவதும் எண் கணிதச் செய்கைகளைச் செய்வதற்கு அம் மாணவனுக்கு வேண்டியது. தற்காலத்தில் பெரும்பாலான வளர்ந்தவர்கள் எல்லா எண் கணிதக் கணிப்புகளுக்கும் கணிப்பொறி அல்லது கணினிகளையே உபயோகிக்கிறார்கள்.

வரலாறு

எண்கணிதத்தின் முற்பகுதி வரலாறு பற்றி ஒரு சிறிய அளவில் தான் ஆதாரங்கள் மட்டுமே கிடைக்கப்பெற்றுள்ளது. அதில் குறிப்பிடத்தக்க ஒன்று மத்திய ஆப்பிக்காவில் உள்ள கொங்கோ குடியரசு நாட்டில் 20,000 மற்றும் 18,000 கி.மு. இடைப்பட்ட காலத்தை கொண்ட ஈசாங்கோ எழும்பு கிடைத்துள்ளது.

கி.மு 2000 ஆம் ஆண்டுகளுக்கு முற்பகுதியிலேயே அனைத்து அடிப்படை எண்கணித நடவடிக்கைகளையும் எகிப்தியர்கள் மற்றும் பாபிலோனியர்கள் முதன்முதலில் பயன்படுத்திய ஆதாரங்கள் கிடைக்கப்பட்டுள்ளது. அந்த ஆதாரங்கள் அவர்கள் கண்க்குகளில் உள்ள சிக்கல்களை தீர்ப்பதற்கு எந்த செயல்முறையை பயன்படுத்தினர் என்பதுப் பற்றிய எந்த ஒரு குறிப்பும்மில்லை. ஆனால் குறிப்பிட்ட எண் அமைப்பு முறையின் பண்புகளைப் பற்றியும் மற்றும் சிக்கலான தன்மையை குறித்தும் ஆதாரக் குறிப்புகள் உள்ளது.

முந்தைய எண் அமைப்புகள், நிலைப்படுத்தப்பட்ட குறிமுறையை கொண்ட தசம எண்கள் அடிப்படையில் இல்லை. குறிப்பாக பாபிலோனிய கண்க்கீடு முறைகள் அறுபது (அடிப்படை 60) எண்களின் அடிப்படையிலும் மற்றும் மாயா எண்கள் இருபது (அடிப்படை 20) எண்களின் அடிப்படையிலும் உள்ளதாக இருந்திருககிறது. இந்த இட மதிப்பு கருத்தின் காரணமாக, வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கு அதே இலக்கங்களை மறுபரிசீலனை செய்வது, எளிதான மற்றும் திறமையான கணக்கீட்டு முறைகளுக்கு வழிவகுத்தது.

நவீன கணித தொடர்களின் தொடர்ச்சியான வரலாற்று வளர்ச்சி என்பது பண்டைய கிரேக்கத்தின் ஹெலனிசி நாகரீகத்தில் இருந்து ஆரம்பமாகிறது. இது பாபிலோனிய மற்றும் எகிப்திய உதாரணங்களைவிட மிகப் பிற்பாடு தோன்றியது. சுமார் 300   கி.மு. யுசிலிட் படைப்பிற்கு முன்னர், கணிதத்தில் கிரேக்க தத்துவ படிப்பு, ஆன்மீக நம்பிக்கையுடன் இணைந்திருந்தது. உதாரணமாக, நிகோமாச்சஸ், எண்களுக்கு முந்தைய பித்தேகோரியன் அணுகுமுறை மற்றும் அவரது படைப்பான எண்கணிதம் அறிமுகம் ஆகியவற்றில் ஆன்மீக நம்பிக்கையுடன் உள்ள உறவுகளை சுருக்கமாகக் குறிப்பிட்டார்.

இலிபினிட்சு Stepped Reckoner, இதுவே முதன் முதலில் உருவாக்கப்பட்ட கண்க்கிடும் கால்குலேட்டர்.

ஆர்க்கிமெடெசு, திபோபாண்டசு பயன்படுத்திய கிரேக்க எண்கள் மற்றவர்கள் பயன்படுத்திய நிலைநிறுத்தக் குறிப்பு எண்களிடமிருந்து மிகவும் வேறுபட்டவை அல்ல. பூர்வ கிரேக்கர்கள் 0 பூச்சியத்திற்கான சின்னத்தைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்பதால் (எலனிசிடிக்கு காலம் வரை), அவை மூன்று தனித்தனி சின்னங்களைக் கொண்டிருந்தன. பத்தாவது இடத்திற்கு ஒன்று, நூறுக்கு ஒன்று. பின்னர் ஆயிரம் இடத்திற்கு அவை அலகு இடத்திற்கான சின்னங்களை மறுபடியும் மறுபடியும் பயன்படுத்தினர். அவற்றின் கூட்டல் வழிமுறை நம்முடையது போலவே இருந்தது, அவற்றின் பெருக்கல் வழிமுறை மிகவும் சற்று வித்தியாசமானது இருந்திருக்கிறது. ஆனால் வகுத்தல் வழிமுறை நம்முடையது போலவே இருந்திருக்கிறது மற்றும் ஆர்க்கிமிடீசுக்கு சதுர ரூட் கண்க்கிடும் முறை அறிந்திருக்கவும் மற்றும் கண்டுபிடித்திருக்கவும் வாய்ப்பிருந்திருக்கிறது. அவர் ஈரோ முறையை அதற்கு அடுத்தடுத்த தோராயமாக பயன்படுத்த விரும்புகிறார். ஏனெனில், ஒரு முறை கணக்கிடப்பட்டால், ஒரு எண் மாறாது, மற்றும் 7485696 போன்ற சரியான சதுரங்களின் சதுர ரூட், 2736 என உடனடியாக நிறுத்தப்பட வேண்டும். பண்டைய சீனர்கள் இதேபோன்ற கண்க்கிடும் முறையை பயன்படுத்தினர். ஏனென்றால் அவரிகலிடத்தில் 0 பூச்சியத்திற்கான சின்னம் இல்லாதிருந்ததால், அவை ஒரு அலகு இடத்திற்கு ஒரு தொகுப்பு அடையாளமும், பத்தாவது இடங்களுக்கான இரண்டாவது தொகுப்பு அடையாளமும். நூறாவது இடத்திற்கு அடையாளங்களை மறுபடியும் மறுபடியும் பயன்படுத்தினர். அவர்களின் சின்னங்கள் பண்டைய எண்ணும் தண்டுகள் அடிப்படையிலானவை. சீனர்கள் நிலையான குறியீடுகள் எப்போது பயன்படுத்த தொடங்கினர் என்பது தெறியாது ஆனால் கி.மு. 400 க்கு முன்பே நிச்சயமாக இருந்திருக்கும். சிரியாவின் பிசப்பு, செவரஸ் செபோக் (650 கி.மு.), "இந்தியர்கள் கண்க்கிடும் முறையைப் பற்றி பாராட்ட எந்த வார்த்தையையும் போதுமானதாக இல்லை ஏனென்றால் அவர்கள் ஒரு சிறந்த கணக்கிடுவதற்கான முறையை கொண்டிருக்கிறார்கள்."

லியனார்டோ பிசா பிபநோசி, 1200 ஆம் ஆண்டில் லிபர் அபாசியில் இவ்வாறு எழுதினார். "இந்தியர்களின் கணக்கிடும் முறை எந்த அறியப்பட்ட முறையும் விஞ்சிவிட்டது. இது ஒரு அற்புதமான முறை. ஒன்பது குறியீடுகள் மற்றும் 0 பூச்சியம் குறியீடு ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தி அவர்கள் கணக்கிடுகிறார்கள்."

இந்து-அரேபிய எண்களின் படிப்படியான வளர்ச்சி, இட மதிப்புத் தன்மை மற்றும் நிலைநிறுத்த குறிமுறை ஆகியவற்றை சுயாதீனமாக உருவாக்கியது, இது தசம கணக்கிடுதலுக்கான அடிப்படையான எளிமையான முறைகள் மற்றும் ஒரு இலக்கத்தின் 0 பூச்சியத்தைக் குறிக்கும் பயன்பாடு ஆகியவற்றை ஒருங்கிணைக்கிறது. இந்த முறையானது ஒரு பெரிய மற்றும் சிறிய முழு எண்களை குறிப்பதற்கு ஒரு நிலையான அமைப்பை அனுமதித்துள்ளது. இந்த அணுகுமுறை இறுதியில் மற்ற அனைத்து அமைப்புகளையும் மாற்றியது. 6 ஆம் நூற்றாண்டின் முற்பகுதியில், இந்திய கணிதவியலாளர் ஆர்யபட்டா இந்த அமைப்பின் தற்போதைய பதிப்பில் தனது ஆராய்ச்சிகளை தொட்ர்ந்தார், மேலும் பல்வேறு குறிப்புகளுடன் பரிசோதனைகளையும் செய்துள்ளார்.

7 ஆம் நூற்றாண்டில், பிரம்மகுப்தா 0 பூச்சியத்தைப் ஒரு தனி எண்ணாக பயன்படுத்தி, பூச்சியம் மற்றும் அனைத்து பிற எண்களின் பெருக்கல், பிரிவு, கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் ஆகியவற்றின் முடிவுகளை நிர்ணயித்ததுள்ளார். ஆனால் 0 பூச்சியத்தால் வகுப்படும் எண்ணின் முடிவை அவரால் கூறமுடியவில்லை.

எண்கணித செயல்பாடுகள்

அடிப்படை எண்கணித செயல்பாடுகளை கூடுதலாக, கழித்தல், பெருக்கம் மற்றும் வகுத்தல் ஆகியவையாகும், இருப்பினும் இது மேலும் மேம்பட்ட செயல்பாடுகளையும் உள்ளடக்கியுள்ளது, இது சதவிகிதம் கையாளுதல், சதுர வேர்கள், விரிவாக்கம் மற்றும் மடக்கை செயல்பாடுகளை உள்ளடக்கியுள்ளது. ஒரு நிலையான செயல்பாடுகளின் படி எண்கணித செய்ல்படுகிறது. அனைத்து நான்கு கணித செயல்களும் (0 ஆல் வகுக்கப்படுவதைத் தவிர) எப்படி வேண்டுமானாலும் செயல்படலாம், இந்த நான்கு செயல்பாடுகள் வழக்கமான விதிகளுக்குள் உள்ளடங்கி, ஒரு களமாக அல்லது ஒரு துறையாக அழைக்கப்படுகின்றன.

கூட்டல் (+)

முதன்மைக் கட்டுரை: கூட்டல்

கூட்டல் என்பது கணிதத்தின் அடிப்படை செயல்பாடு ஆகும். அதன் எளிய வடிவத்தில், கூடுதலாக இரண்டு எண்கள், எண்களின் கூட்டுத்தொகை (2 + 2 = 4 அல்லது 3 + 5 = 8) ஒரு ஒற்றை இலக்கமாக எண் கிடைப்பது, கூட்டல் ஆகும்.

இரண்டு எண்களை விட அதிகமான எண்களை மீண்டும் மீண்டும் சேர்த்துக் கூட்டல்; இந்த நடைமுறை கூட்டுத்தொகை என அறியப்படுகிறது மற்றும் எண்ணற்ற எண்ணற்ற எண்ணை எண்ணற்ற வரிசையில் சேர்க்க வழிகள் உள்ளன; எண் 1 இன் தொடர்ச்சியான எண்ணிக்கையின் கணக்கிடுதல் மிக அடிப்படை வடிவம் ஆகும்.

கூட்டல் என்பது கூடுதலாக வகை மாற்று மற்றும் கூட்டுப்பண்புகள் கொண்டதாகவும் இருக்கிறது அதாவது ஒரு தொடரில் எண்ணின் நிலையை எப்படி மாற்றினாலும் அந்த எண்ணின் தொகை மாறாமல் இருக்கும். கூடுதலாக அடையாளம் உறுப்பு (கூடுதல் சேர்க்கை) 0 என்பது, எந்த எண்னுடன் கூட்டலின் போது அந்தக் கூட்டப்படும் எண்ணின் தொகை மாறாமல் அளிக்கிறது 0. கூடுதலாக, நேர்மாறு உறுப்பு (கூட்டல் நேர்மாறானது) கூட்டப்படும் எண்ணின், அதாவது அந்த எண்ணின் எதிர் எண்ணுடன் சேர்த்துக்கொள்ளும் போது 0 பூஜ்ஜியம் கிடைக்கப்பெறும். உதாரணமாக, 7-ன் எதிர் -7, எனவே 7 + (−7) = 0.

கழித்தல் (-)

முதன்மைக் கட்டுரை: கழித்தல்

கழித்தல் என்பது கூட்டலின் தலைகீழ் ஆகும். கழித்தல் இரண்டு எண்களுக்கு இடையில் உள்ள வேறுபாட்டைக் காண்கிறது, அதாவது கழிக்கப்படும் எண் கழிபடும் எண்னை விட சிறியதாக இருந்தால் வேறுபாடு நேர்மறையாக இருக்கும் மாறாக கழிக்கப்படும் எண் கழிபடும் எண்னை விட பெறியதாக இருந்தால் வேறுபாடு எதிர்மறையாக இருக்கும். இரண்டு எண்களும் சமமாக இருந்தால் வேறுபாடு 0 பூஜ்ஜியமாக கிடைக்கும்.

பெருக்கல் (× or · or *)

முதன்மைக் கட்டுரை: பெருக்கல்

பெருக்கல் என்பது கணிதத்தின் இரண்டாவது அடிப்படை செயல்பாடு ஆகும். பெருக்கல் இரண்டு வேறு வேறு முழு எண்களை ஒற்றை எண்ணின் தொடர் கூட்டுத்தொகையாக உருவாக்குகிறது. இரண்டு பெருக்கப்படும் அசல் அல்லது முழு எண்களை பெருக்கிகள் என்றும் , சில நேரங்களில் இரண்டு காரணிகள் என அழைக்கப்படுகின்றன.

பெருக்கல் ஒரு அளவிடுதலுக்கு பயன்ப்டுகிறது . எண்களை ஒரு வரிசையில் நிற்பதாக கற்பனை செய்தால், அந்தப் பல எண்களின் பெருக்கல், x எனக் கூறினால், அந்த் x 1 ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும். இப்போது அந்த எண்கள் X எனற எண்ணின் எண்ணிக்கையில் சமமாக் அந்த வரிசையில் உள்ள எண்களின் கூட்டுத்தொகை x ஆகும்.

a மற்றும் b பெருக்கல் இவ்வாறு எழுதப்படுகிறது a × b or a·b. கணினி நிரலாக்க மொழிகளிலும், மென்பொருள் தொகுப்புகளிலும், ஒரு விசைப்பலகையில் பொதுவாக காணக்கூடிய எழுத்துக்களை மட்டுமே பயன்படுத்த முடியும், இது பெரும்பாலும் ஒரு நட்சத்திரத்துடன் எழுதப்படுகிறது: a * b.

வகுத்தல் (÷ or /)

முதன்மைக் கட்டுரை: வகுத்தல்

வகுத்தல் என்பது பெருக்கத்தின் தலைகீழ் ஆகும். இது இரண்டு முழு எண்களை வகுப்பதால் ஈவு கிடைக்கப்பெறும். இதில் வகுபடும் எண், வகு எண்னை விட பெரியதாக இருந்தால் வகுத்தல் போது ஒரு நேர்மறை எண் ஈவாகக் கிடைக்கும். இதுவே வகுபடும் எண், வகு எண்னை விட சிறியதாக இருந்தால் வகுத்தல் போது ஒரு எதிர்மறை எண் ஈவாகக் கிடைக்கும். இப்போது ஈவை அந்த வகு எண்ணால் பெருக்கினால் வகுபடும் எண் கிடைக்கும். ஒரு முழு எண்னை 0 பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தால் ஈவு என்பது ஒரு முடிவில்லா ஒன்றாகும்.

வகுத்தல் என்பது வகை மாற்று பண்போ அல்லது கூட்டுப்பண்புகள் கொண்டதாகவோ இருக்கிறது. மேலும் கழித்தலை கூட்டலாக பார்க்கவும், வகுத்தலை பெருக்கலாகப் பார்க்க இது பயனுள்ளதாக இருக்கும். வகுபடும் a எண்னை வகு b எண்னின் தலைகீழ் பெருக்கினால் கிடைக்கும் விடை சமமாகும் a ÷ b = a × 1/b.. மேலும் பெருக்கலின் அனைத்து பண்புகளையும் கொண்டிருக்கிறது.