ஒட்டு வளைவரை

வகையீட்டு வடிவகணிதத்தில், ஒரு ஒட்டு வளைவரை (Osculating curve) என்பது கொடுக்கப்பட்ட வளைவரை குடும்பத்தில் உள்ள ஏதேனும் ஒரு வளைவரையுடன் அதிகபட்ச வரிசை தொடர்புடைய ஒரு தள வளைவரை ஆகும். அதாவது, F என்பது சீரான வளைவரைகளின் ஒரு குடும்பமாக இருந்தால், C என்பது ஒரு சீரான வளைவரை (பொதுவாக F க்கு சொந்தமானது அல்ல), மற்றும் p என்பது C இல் ஒரு புள்ளி எனில், பின் F லிருந்து புள்ளி p-ல் ஒரு ஒட்டு வளைவரை என்பது F இன், புள்ளி p வழியாகயும், புள்ளி p-ல் வகையீடுகளை, வளைவரை C-ன் வகையீடுகளுக்கு சமமாகக் கொண்ட வளைவரை ஆகும்.

புள்ளி P கொண்டுள்ள வளைவரை C , தொடுகோடும் ஒட்டு வட்டமும் புள்ளி P-ல் வளைவரை C யினைத் தொடுகின்றன. இங்கு r என்பது வளைவு ஆரம் ஆகும்.

இந்த வார்த்தை முத்தமிட என்ற பொருளுடைய "osculate" என்னும் லத்தீன் வேர்ச் சொல்லிலிருந்து பெறப்பட்டது, ஏனெனில் இரண்டு வளைவரைகள் எளிய தொடுதலைவிட நெருக்கமான வழியில் ஒன்றுக்கொன்று தொடர்புகொள்கின்றன.

உதாரணங்கள்

பல்வேறு வரிசைகளில் ஒட்டு வளைவரைக்கான உதாரணங்கள் பின்வருமாறு,

• நேர்கோடுகளின் குடும்பத்திலிருந்து ஒட்டு வளைவரை என்பது, புள்ளி p-ல் வளைவரை C-ன் தொடுகோடு எனப்படும். தொடுகோடு அதன் முதல் வகையிடல் (சாய்வு)-ஐ வளைவரை C உடன் பகிர்ந்து கொள்கின்றது, எனவே அது வளைவரை C உடன் முதல் வரிசைத் தொடர்பு கொண்டுள்ளது.
• வட்டங்களின் குடும்பத்திலிருந்து ஒட்டு வளைவரை என்பது, புள்ளி p-ல் C-ன் ஒட்டு வட்டம் எனப்படும். ஒட்டு வட்டம் அதன் முதல் மற்றும் இரண்டாம் வகையிடல் (சாய்வு மற்றும் வளைவு)-களை C உடன் பகிர்ந்து கொள்கின்றது, எனவே அது வளைவரை C உடன் இரண்டாம் வரிசைத் தொடர்பு கொண்டுள்ளது.
• பரவளையங்களின் குடும்பத்திலிருந்து ஒட்டு வளைவரை என்பது, புள்ளி p-ல் C-ன் ஒட்டு பரவளையம் எனப்படும். ஒட்டு பரவளையம் அதன் முதல் மூன்று வகையிடல் (சாய்வு)-களை C உடன் பகிர்ந்து கொள்கின்றது, எனவே அது C உடன் மூன்றாம் வரிசைத் தொடர்பு கொண்டுள்ளது.
• கூம்புவளையங்களின் குடும்பத்திலிருந்து ஒட்டு வளைவரை என்பது, புள்ளி p-ல் C-ன் ஒட்டு கூம்பு வளையம் எனப்படும். ஒட்டு கூம்பு வளையம் அதன் முதல் நான்கு வகையிடல் (சாய்வு)-களை C உடன் பகிர்ந்து கொள்கின்றது, எனவே அது C உடன் நான்காம் வரிசைத் தொடர்பு கொண்டுள்ளது.

சான்றாதாரம்

1. Rutter, J. W. (2000), Geometry of Curves, CRC Press, pp. 174–175, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9781584881667.
2. Williamson, Benjamin (1912), An elementary treatise on the differential calculus: containing the theory of plane curves, with numerous examples, Longmans, Green, p. 309.
3. Max, Black (1954–1955), "Metaphor", Proceedings of the Aristotelian Society, N.S., 55: 273–294. Reprinted in Johnson, Mark, ed. (1981), Philosophical Perspectives on Metaphor, University of Minnesota Press, pp. 63–82, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780816657971. P. 69: "Osculating curves don't kiss for long, and quickly revert to a more prosaic mathematical contact."
4.Taylor, James Morford (1898), Elements of the Differential and Integral Calculus: With Examples and Applications, Ginn & Company, pp. 109–110.
5. Kreyszig, Erwin (1991), Differential Geometry, Toronto University Mathematical Expositions, 11, Courier Dover Publications, pp. 32–33, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780486667218.