காசினி, கேட்டலான் முற்றொருமைகள்

காசினியின் முற்றொருமை, (Cassini's identity) கேட்டலானின் முற்றொருமை (Catalan's identity) இரண்டும் பிபனாச்சி எண்களுக்கான கணித முற்றொருமைகள் ஆகும். காசினியின் முற்றொருமை, கேட்டலானின் முற்றொருமையின் சிறப்புவகையாக அமைந்துள்ளது.

காசினியின் முற்றொருமை

nஆம் பிபனாச்சி எண் $F_{n}$ எனில்:

$F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}.\,$

கேட்டலானின் முற்றொருமை இதனை பொதுமைப்படுத்துகிறது:

கேட்டலானின் முற்றொருமை

$F_{n}^{2}-F_{n-r}F_{n+r}=(-1)^{n-r}F_{r}^{2}.\,$

இதனை மேலும் பொதுமைப்படுத்தக் கிடைக்கும் முற்றொருமை (வாஜ்டாவின் முற்றொருமை):

$F_{n+i}F_{n+j}-F_{n}F_{n+i+j}=(-1)^{n}F_{i}F_{j}.\,$

வரலாறு

1680 இல் பாரிஸ் வானியல் ஆய்வகத்தின் இயக்குநர் ஜீண்டொமினிக் காசினியால் காசினியின் முற்றொருமை கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. 1753 இல் ராபர்ட் சிம்சனால் நிரூபிக்கப்பட்டது. 1879 இல் கேட்டலான் அவர் பெயரால் அழைக்கப்படும் கேட்டலானின் முற்றொருமையைக் கண்டறிந்தார்.

அணிக் கோட்பாட்டால் நிறுவல்

காசினியின் முற்றொருமையின் இடதுபுறப் பகுதியை, பிபனாச்சி எண்களைக் கொண்ட 2×2 அணியின் அணிக்கோவையாக எடுத்துக்கொண்டு முற்றொருமையை எளிதாக நிறுவலாம்:

$F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=\det \left[{\begin{matrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{matrix}}\right]=\det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]^{n}=\left(\det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]\right)^{n}=(-1)^{n}.$

மேற்கோள்கள்

• Robert Simson; Philip, H. (1753). "An Explication of an Obscure Passage in Albert Girard’s Commentary upon Simon Stevin’s Works". Philosophical Transactions of the Royal Society of London 48 (0): 368–376. doi:10.1098/rstl.1753.0056. 

• Werman, M.; Doron Zeilberger (1986). "A bijective proof of Cassini's Fibonacci identity". Discrete Mathematics 58 (1): 109. doi:10.1016/0012-365X(86)90194-9. 

வெளி இணைப்புகள்

• Proof of Cassini's identity பிளாநெட்மேத்தில்
• Proof of Catalan's Identity பிளாநெட்மேத்தில்
• Cassini formula for Fibonacci numbers பரணிடப்பட்டது 2005-10-30 at the வந்தவழி இயந்திரம்
• Fibonacci and Phi Formulae பரணிடப்பட்டது 2007-01-24 at the வந்தவழி இயந்திரம்