காமா சார்பியம்

கணிதத்தில் காமா சார்பியம் அல்லது காமா செயற்கூறு (Gamma function) என்பது தொடர்பெருக்கம் என்னும் கணிதச் சார்பியத்தின் ஒரு நீட்சி ஆகும். அதாவது கீழ்நோக்கி ஓரெண் குறைவான தொடர்பெருக்கம், மெய்யெண்ணாக இருப்பினும் சிக்கலெண்ணாக இருப்பினும். இந்த சார்பியத்தை கிரேக்கப் பெரிய எழுத்தாகிய காமா Γ என்பதால் குறிப்பது வழக்கம். n என்பது நேர்ம முழு எண்ணாக இருந்தால்,

மெய்யெண் அச்சின் பகுதியில் காமா சார்பியத்தின் மதிப்பு

$\Gamma (n)=(n-1)!$

காமா சார்பியம் என்பது நேர்ம எண்ணாக அல்லாத எல்லா சிக்கலெண்களுக்கும் வரையறுக்கப்பட்ட ஒன்று. நேர்ம மெய்யெண் பகுதி கொண்ட சிக்கலெண்களுக்கு, குவிந்தடையும் ஏதேனும் ஓரெல்லையாவது முடிவிலியாக அல்லது அடைவெல்லையாக அமைந்த செவ்வியதல்லாத நுண்தொகையீடு வழியாக வரையறை செய்யப்படும்:

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx$

இந்தக் காமா சார்பியம் பல்வேறு நிகழ்தகவு பகிர்வமைப்புகளில் (probability-distribution) காணப்படுகின்றது. பல்வேறு புள்ளியியல் சேர்வியல் துறைகளிலும் காணப்படுகின்றது.

வரையறை

முதன்மையான வரையறை

Γ(z) என்னும் குறியீடு இலெகந்தர்( Legendre) என்பாரால் வழங்கப்பெற்றது z என்னும் ஒரு சிக்கெலெண்ணின் மெய்யெண் பகுதி நேர்ம எண்ணாக இருந்தால் (Re(z) > 0), தொகையீடு

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx$

முற்றாகக் குவிந்தடையும் (converges absolutely) ஒன்றாகும்; இது ஆய்லரின் இரண்டாம் வகைத் தொகையீடு என்று அறியப்படுகின்றது (ஆய்லரின் முதல்வகைத் தொகையீடு என்பது பீட்டா சார்பியம் ஆகும்) . பகுதியாக செய்யப்படும் தொகையீட்டு முறைப்படி கீழ்க்கண்டவாறு அறியலாம்:

${\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{\infty }x^{z}e^{-x}\,dx\\&=\left[-x^{z}e^{-x}\right]_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }zx^{z-1}e^{-x}\,dx\\&=\lim _{x\to \infty }(-x^{z}e^{-x})-(0e^{-0})+z\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx\end{aligned}}$

$x\to \infty$ ஆக $-x^{z}e^{-x}\to 0,$

${\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=z\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx\\&=z\Gamma (z)\end{aligned}}$

$\Gamma (1)$ என்பதைக் கணக்கிடலாம்:

${\begin{aligned}\Gamma (1)&=\int _{0}^{\infty }x^{1-1}e^{-x}\,dx\\&=\left[-e^{-x}\right]_{0}^{\infty }\\&=\lim _{x\to \infty }(-e^{-x})-(-e^{-0})\\&=0-(-1)\\&=1\end{aligned}}$

$\Gamma (1)=1$ என்னும் உண்மையையும் $\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)$ என்பதையும் கருத்தில் கொண்டால்,

$\Gamma (n)=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)=(n-1)!\,$

என்பது எல்லா $n$ நேர்ம எண்களுக்கும் பொருந்தும். இதனை அடுத்துத்தூண்டல் நிறுவல் (proof by induction) முறை எனக் கொள்ளலாம். முற்றொருமையான $\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+1)}{z}}$ என்பதைப் பயன்படுத்தி $\Gamma (z)$ சார்பியத்தை தொகையீட்டு அமைப்பில் சுழியமாகவோ அதற்கும் கீழானதாகவோ இல்லாத $z$ என்னும் எல்லாச் சிக்கலெண்ணுக்கும் பொருந்துமாறு மேரோவுருவ சார்பியமாக நீட்சி பெறச் செய்யலாம்.

இந்த நீட்சிபெற்ற பார்வையிலும் வடிவத்திலும்தான் பொதுவாக காமா சார்பியம் என அறியப்படுகின்றது.

மாற்று வரையறைகள்

முடிவிலாப் பெருக்கல் வடிவில் ஆய்லர் தரும் வரையறை

சிக்கலெண் z இன் தொடர் பெருக்கமாகிய z! என்பதற்கு தோராயம் கண்டறிய கீழ்க்காணும் முறை பயன்படும் ஒன்றாகத் தெரிகின்றது. முதலில் பெரிய முழு எண்ணாகிய ஒரு n என்பதன் தொடர்பெருக்கமாகிய n! -ஐக் கணக்கிடலாம். பின்னர் அதனைப் பயன்படுத்தித் தோராயமாக (n+z)! என்பதைக் கணக்கிடலாம், பின்னர் மீளுறும் சமன்பாட்டை n முறை பின்னோக்கிப் பயன்படுத்தி, z! என்பதனைத் தோராயமாகக் கண்டறியலாம். கடைசியாக n என்பது முடிவிலியாக சென்றடையும்பொழுது தோராயம் என்பது முழுதும் சரியானதாக ஆகிவிடும்.

குறிப்பாக, ஒரு குறிப்பிட்ட முழுவெண் m -உக்கு, கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்.

$\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;(n+1)^{m}}{(n+m)!}}=1\,,$

இதே சமன்பாடு அந்த ஏதோவொரு குறிப்பிட்ட m என்பதை ஏதோவொரு குறிப்பிட்ட சிக்கெலெண் z -ஆக மாற்றினாலும் பொருந்துவதாகும்.

$\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;(n+1)^{z}}{(n+z)!}}=1\,.$

z! ஆல் இருபக்கத்தையும் பெருக்கினால்,

${\begin{aligned}z!&=\lim _{n\to \infty }n!{\frac {z!}{(n+z)!}}(n+1)^{z}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1\cdots n}{(1+z)\cdots (n+z)}}(n+1)^{z}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1\cdots n}{(1+z)\cdots (n+z)}}\left[\left(1+{\frac {1}{1}}\right)\left(1+{\frac {1}{2}}\right)\cdots \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\right]^{z}\\&=\prod _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{1+{\frac {z}{n}}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}\right].\end{aligned}}$

இந்த முடிவிலிப் பெருக்க வாய்பாடு எதிர்ம முழுவெண் அல்லாத எல்லா z சிக்கலெண்களுக்கும் குவியடைவு பெறும். எதிர்ம முழுவெண் இருந்தால் m! = m (m−1)! என்னும் மீளுறும் சமன்பாட்டில் பின்னோக்கிச் செல்லும்பொழுது m = 0 என்பதில் சுழியத்தால் வகுபடும் நிலை வரும்.

சில காமா சார்பிய மதிப்புகள்

காமா சார்பியத்தின் மதிப்புகள் சில:

${\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx &2.363\,271\,801\,207\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.544\,907\,701\,811\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &1.772\,453\,850\,906\\\Gamma (1)&=&0!&=&1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx &0.886\,226\,925\,453\\\Gamma (2)&=&1!&=&1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx &1.329\,340\,388\,179\\\Gamma (3)&=&2!&=&2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx &3.323\,350\,970\,448\\\Gamma (4)&=&3!&=&6\end{array}}$