குறுக்குப் பெருக்கல்

கணிதத்தில் குறுக்குப் பெருக்கல் (Cross-multiplication) என்பது அடிப்படை எண்கணிதம், அடிப்படை இயற்கணிதத்தில் இரு பின்னங்கள் அல்லது இயற்கணிதக் கோவை#விகிதமுறு கோவைகளுக்கிடையேயான சமன்பாட்டை எளிய வடிவிற்கு மாற்றவும் அவற்றிலுள்ள மாறிகளின் மதிப்புகளைக் கண்டுபிடித்து அச்சமன்பாட்டின் தீர்வு காணவும் பயன்படும் எளிய கணக்கீட்டு முறையாகும்.

தரப்பட்டுள்ள சமன்பாடு:

{\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}.

இங்கு

b

,

d

இரண்டும் பூச்சியமல்ல

இச்சமன்பாட்டைக் குறுக்கே பெருக்கிப் பின்வரும் முடிவைப் பெறலாம்:

ad=bc\qquad \mathrm {or} \qquad a={\frac {bc}{d}}.

யூக்ளிடிய வடிவவியலின் விகிதங்களை வடிவொத்த முக்கோணங்களின் விகிதங்களைப் போன்று கருதுவதன் மூலம் யூக்ளிடிய வடிவவியலிலும் குறுக்குப் பெருக்கலைச் செய்யலாம்.

செய்முறை

குறுக்குப் பெருக்கலில் விகிதமுறு சமன்பாட்டின் இருபுறம் உள்ள பின்னங்களில்,

வலப்புற பின்னத்தின் பகுதி இடப்புறத்துக்கு மாற்றப்பட்டு, இடப்புற பின்னத்தின் தொகுதியோடு பெருக்கப்படுகிறது.
அதேபோல, இடப்புற பின்னத்தின் பகுதி வலப்புறத்துக்கு மாற்றப்பட்டு, வலப்புற பின்னத்தின் தொகுதியோடு பெருக்கப்படுகிறது.

{\frac {a}{b}}\nwarrow {\frac {c}{d}}\quad {\frac {a}{b}}\nearrow {\frac {c}{d}}.

குறுக்குப் பெருக்கலை முறையை கீழுள்ள கணிதச் செயற்பாடுகளின் மூலம் சரிபார்க்கலாம்:

எடுத்துக்கொள்ளப்படும் விகிதமுறு சமன்பாடு:

{\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}

எந்தவொரு சமன்பாட்டையும் அதன் இருபுறமும் ஒரே உறுப்பால் பெருக்கும்போது அச்சமன்பாடு மாறாது என்ற முடிவின்படி, இச்சமன்பாட்டை இருபுறமும் $bd$ ஆல் பெருக்க:

{\frac {a}{b}}\times bd={\frac {c}{d}}\times bd

ஒவ்வொரு புறமுமுள்ள பொதுக்காரணியால் சுருக்க:

ad=bc

குறுக்குப் பெருக்கலை கீழுள்ள மற்றொரு முறையிலும் சரிபார்க்கலாம்:

{\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}

இடதுபுறம் $d / d$ = 1 ஆலும், வலதுபுறம் $b / b$ = 1 ஆலும் பெருக்க:

{\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{d}}={\frac {c}{d}}\times {\frac {b}{b}}

{\frac {ad}{bd}}={\frac {cb}{db}}.

$b$ , $d$ இரண்டும் பூச்சியமல்ல என்பதால், இருபுறமும் பொதுவான பகுதியாகவுள்ள $bd$ = $db$ ஐ நீக்க:

ad=cb.

பயன்பாடு

பின்னச் சமன்பாடுகளைச் சுருக்கவும், தீர்க்கவும் குறுக்குப் பெருக்கல் பயன்படுகிறது.

{\frac {x}{b}}={\frac {c}{d}}

இச்சமன்பாட்டில் x இன் மதிப்பைக் காண வேண்டுமெனில் குறுக்குப் பெருக்கலைப் பயன்படுத்த,

x={\frac {bc}{d}}.

எடுத்துக்காட்டு:

மாறாத வேகத்தில் ஓடிக்கொண்டிருக்கும் ஒரு மகிழுந்து கடந்த மூன்று மணி நேரத்தில் 90 கிமீ கடந்துள்ளது என்றால், ஏழு மணி நேரத்தில் அது கடக்கும் தூரம் எவ்வளவு?

இக்கணக்கின் விடைகாண்பதற்கு, தரவு கீழ்வரும் விகிதச் சமனாக எழுதப்படுகிறது. இதில் x என்பது 7 மணி நேரத்தில் கடக்கும் தொலைவைக் குறிக்கிறது.

{\frac {x}{7\ \mathrm {hours} }}={\frac {90\ \mathrm {km} }{3\ \mathrm {hours} }}.

குறுக்குக் பெருக்கலின்படி:

x={\frac {7\ \mathrm {hours} \times 90\ \mathrm {km} }{3\ \mathrm {hours} }}

x=210\ \mathrm {km} .

a={\frac {x}{d}}

என்ற எளிய வடிவில் சமன்பாடு அமைந்தால்

b

= 1 எனக் கொள்ள:

{\frac {a}{1}}={\frac {x}{d}}.

இப்போது குறுக்குப் பெருக்கலைப் பயன்படுத்தி x இன் மதிப்பைக் காணலாம்:

x={\frac {ad}{1}}=ad.

மூன்றின் விதி

மூன்றின் விதி (Rule of Three)^[1] என்பது குறுக்குப் பெருக்கலுக்கான ஒரு சுருக்கு வழிமுறையாகும். பிரெஞ்சு தேசிய பள்ளிக்கல்விப் பாடத்திட்டத்தில் இது இடம் பெற்றுள்ளது.^[2]

தரப்பட்டுள்ள சமன்பாடு:

{\frac {a}{b}}={\frac {c}{x}}

இதில் மதிப்பு காணப்பட வேண்டிய மாறியானது வலதுபக்கத்தில் பகுதியாக உள்ளது. மூன்றின் விதிப்படி:

x={\frac {bc}{a}}.

இதில் $a$ , ”ஓரமதிப்பு”” (extreme) எனவும் $b$ , $c$ இடைமதிப்புகள் (means) எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன..

மேற்கோள்கள்

↑ This was sometimes also referred to as the Golden Rule, though that usage is rare compared to other uses of Golden Rule. See E. Cobham Brewer (1898). "Golden Rule". Brewer's Dictionary of Phrase and Fable. Philadelphia: Henry Altemus.
↑ "Socle de connaissances, pilier 3". French ministry of education. 30 December 2012. பார்க்கப்பட்ட நாள் 24 September 2015.

mathsisfun-Cross Multiply

மேலும் படிக்க

[1] This was sometimes also referred to as the Golden Rule, though that usage is rare compared to other uses of Golden Rule. See E. Cobham Brewer (1898). "Golden Rule". Brewer's Dictionary of Phrase and Fable. Philadelphia: Henry Altemus.

[2] "Socle de connaissances, pilier 3". French ministry of education. 30 December 2012. பார்க்கப்பட்ட நாள் 24 September 2015.

[1]

[2]