கூட்டுத் தொடர்வரிசை

கணிதத்தில், கூட்டுத் தொடர்வரிசை அல்லது கூட்டுத் தொடர்முறை அல்லது எண்கணிதத் தொடர்முறை (Arithmetic progression) என்பது, அடுத்தடுத்து வரும் எந்த இரு எண்களுக்கும் இடையே ஓரே எண் வேறுபாடாக இருக்குமாறு அமைந்த, வரிசையாக வரும் எண்கள்.

எடுத்துக்காட்டாக 3, 5, 7, 9, 11, 13, … என்பது ஒரு கூட்டுத்தொடர், ஏனெனில் அடுத்தடுத்து வரும் எந்த இரண்டு எண்களுக்கும் இடையே உள்ள வேறுபாடு இங்கே 2. அதாவது, இத்தொடரை 3, 3+2, (3+2)+2,... என்று எழுதலாம்; அடுத்தடுத்து, ஒரு வரிசையில் வரும் எண்களை அறிய, ஓர் உறுப்பின் முன்னுள்ள எண்ணுடன் 2 ஐச் சேர்த்தால் கிட்டும். ஒரு கூட்டுத் தொடரில் அடுத்தடுத்து வரும் எந்த இரண்டு எண்களுக்கும் இடையே உள்ள வேறுபாடு பொது வேறுபாடு எனப்படும்.

கூட்டுத்தொடர்வரிசையில் வரும் முதல் எண் $a_{1}$ என்றும், பொது வேறுபாடு d என்றும் கொண்டால், வரிசையில் n-ஆவது உறுப்பு என்ன என்பதைக் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்:

$\ a_{n}=a_{1}+(n-1)d,$

இதையே, இன்னும் பொதுமைப்படுத்தி,

$\ a_{n}=a_{m}+(n-m)d.$ எழுதலாம்.

இந்தக் கூட்டுத் தொடர்வரிசை முடிவிலியாய்ப் போய்க்கொண்டே இருக்கலாம். வரம்புடைய எண்ணிக்கையில் அதாவது முடிவுறு உறுப்புகள் கொண்ட கூட்டுத்தொடர்வரிசையை, வரம்புள்ள கூட்டுத் தொடர்வரிசை என்று அழைப்பர் அல்லது பொதுவான சொல்லான கூட்டுத் தொடர்வரிசை என்றும் அழைப்பர்.

ஒரு கூட்டுத்தொடர்வரிசை எப்படி வளர்கின்றது என்பது, அதன் பொதுவேறுபாட்டு எண்ணைப் பொருத்துள்ளது. பொதுவேறுபாட்டு எண்ணானது,

• நேர்ம எண்ணாக இருந்தால், அடுத்தடுத்து வரும் உறுப்புகள் பெருகிக்கொண்டே போய் முடிவிலிக்குப் போகும்;
• எதிர்ம எண்ணாக இருந்தால், எதிர்திசையில் பெருகிக்கொண்டே போய் எதிர்ம முடிவிலிக்குப் போகும்.

கூட்டுத் தொடர்வரிசையின், கூட்டுத்தொகை

முதல் n முழு எண்களின் கூட்டுத்தொகை (1+2+...+n) காணும் வாய்பாட்டின் நிறுவல்

ஒரு வரம்புள்ள கூட்டுத்தொடர்வரிசையின் உறுப்புகளைக் கூட்டி அதன் கூட்டல் மதிப்பு அல்லது கூட்டுத்தொகையைக் கணிக்கலாம். ஒரு கூட்டுத்தொடர்வரிசையின் n உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையை $S_{n}$ எனக் குறிப்பதாகக் கொண்டால், இந்தக் கூட்டுத்தொகையை இருவேறு விதமாக எழுதலாம் (இப்படி இருவேறு விதமாகக் கணக்கிடும் முறை, நிறுவலுக்குப் பயன்படும் ஒரு தனி முறையாகவும் கொள்ளப்படுகின்றது):

$S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)$

$S_{n}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}.$

மேலே உள்ளதில், முதல் தொடரானது $a_{1}$ ஓடு d, 2d, 3d என்று படிப்படியாகக் கூட்டிக்கொண்டே போவது, ஆனால் இரண்டாவது தொடரானது, கடைசி உறுப்பாகிய $a_{n}$ இல் இருந்து (n-1)d, (n-2)d என்று படிப்படியாக கழித்துக்கொண்டே செல்வது. இப்படியாக மேலே உள்ளவாறு இருவேறு விதமாக எழுதப்பட்ட இரண்டு கூட்டுத்தொடர்களின் கூட்டுத்தொகைகளைக் கூட்டினால், பொதுவேறுபாடான d ஒன்றோடு ஒன்று கழிபட்டுப் போகின்றது:

$\ 2S_{n}=n(a_{1}+a_{n}).$

சமன்பாட்டின் இருபுறத்தையும் இரண்டால் வகுத்து கூட்டுத்தொகையை அடையலாம்:

$S_{n}={\frac {n}{2}}(a_{1}+a_{n}).$

இன்னொரு மாற்று வடிவத்தைப் பெற, மீண்டும் $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ எனப் பதிலிட்டுப் பெறலாம்:

$S_{n}={\frac {n}{2}}[2a_{1}+(n-1)d].$

499 கி.பி யில் இந்திய வானியல், கணித வல்லுநர் ஆரியபட்டா என்பவர் தன்னுடைய ஆரியபட்டியம் என்னும் நூலில் இம்முறையைத் தந்துள்ளார். (section 2.18) .

எடுத்துக்காட்டாக, a_n = 3 + (n-1)(5) குறிக்கும் கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் 50 உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை:

$S_{50}={\frac {50}{2}}[2(3)+(49)(5)]=6,275.$

உறுப்புகளின் பெருக்குத்தொகை

ஒரு வரம்புள்ள கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் உறுப்புகளைப் பெருக்கினால் வரும் பெருக்குத்தொகையைக் கணிக்கலாம். முதல் உறுப்பு அல்லது உருப்படி a₁ என்றும், பொதுவேறுபாடு d என்றும், மொத்த உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை n என்றும் கொண்டால், அந்த n உறுப்புகளின் பெருக்குத்தொகையை முடிவுறும் வாய்பாடாகக் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்:

$a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=a_{1}(a_{1}+d)(a_{1}+2d)...(a_{1}+(n-1)d)=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)=d^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}$

இதில் காணப்படும் $\Gamma$ என்பது காமா சார்பியம். ($a_{1}/d$ என்பது எதிர்ம எண்ணாகவோ சுழியாகவோ இருந்தால் இந்த வாய்பாடு செல்லாது).

தொடர்பெருக்கம் $n!=1\times 2\times \cdots \times n$ மற்றும்

$m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n\,\!={\frac {n!}{(m-1)!}}.$ என்ற இரு முடிவுகளின் பொதுமைப்படுத்தலாக மேலுள்ள பெருக்குத்தொகை அமைகிறது

எடுத்துக்காட்டு: மேலே கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில் n ஆவது உறுப்பை a_n = 3 + (n-1)(5) எனக்கொண்டு 50 ஆவது உறுப்புவரை பெருக்க:

$P_{50}=5^{50}\cdot {\frac {\Gamma \left(3/5+50\right)}{\Gamma \left(3/5\right)}}\approx 3.78438\times 10^{98}$

இப்பொழுது கூட்டுத் தொடர்வரிசை ஒன்றைக் கருதுக:

$a,(a+d),(a+2d),.................(a+(n-1)d)$

இதில் முதல் மூன்று உறுப்புகளின் பெருக்குத்தொகை

$a(a+d)(a+2d)$

$=(a^{2}+ad)(a+2d)$

$=a^{3}+3a^{2}d+2ad^{2}$

இது கீழ்க்காணும் வடிவில் உள்ளது:

$a^{n}+na^{n-1}d^{n-2}+(n-1)a^{n-2}d^{n-1}$

ஆகவே, $n$ உறுப்புகளின் இன் பெருக்குத்தொகை:

$a^{n}+na^{n-1}d^{n-2}+(n-1)a^{n-2}d^{n-1}$

இதற்கு முடிவுதரும் தீர்வுகள் இல்லை.

திட்டவிலக்கம்

ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் திட்டவிலக்கத்தைக் கீழுள்ள வாய்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் காணலாம்:

$\sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}$

$n$ = கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை

$d$ = கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் உறுப்புகளுக்கு இடையுள்ள பொதுவேறுபாடு

கூட்டுத் தொடர்வரிசைக்கான வாய்பாடுகள்

$a_{1}$ -கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் முதல் உறுப்பு.

$a_{n}$ -கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் n ஆவது உறுப்பு.

$d$ -கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் அடுத்தடுத்த இரு உறுப்புகளுக்கு இடையுள்ள பொதுவேறுபாடு.

$n$ -கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை.

$S_{n}$ -கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் n உறுப்புகளின் கூடுதல்.

${\overline {n}}$ கூட்டுத்தொடர்வரிசையின் சராசரி மதிப்பு.

வாய்பாடுகள்:

1. $\ a_{n}=a_{1}+(n-1)d,$
2. $\ a_{n}=a_{m}+(n-m)d.$
3. $S_{n}={\frac {n}{2}}[2a_{1}+(n-1)d].$
4. $S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}$
5. ${\overline {n}}$ = $S_{n}/n$
6. ${\overline {n}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.$

மேலும் காண்க

• பெருக்குத் தொடர்வரிசை

உசாத்துணை

• Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. pp. 259–260. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-387-95419-8.

வெளியிணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W., "Arithmetic progression", MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "Arithmetic series", MathWorld.