கேடலான் எண்கள்: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு

 

== மூலைவிட்ட முக்கோணப்பிரிவினை ==

 

(n + 1) பக்கங்களுள்ள ஒரு [[குவிந்த பலகோணம்|குவிந்த பலகோணத்தை]] உள்பக்கத்தில் ஒன்றுக்கொன்று வெட்டாத மூலைவிட்டங்களால் முக்கோணங்களால் பிரிக்கப்பட T_n+1வழிகளிருந்தால்

''T_n+1'' இன் மதிப்பை ''C_n'' என்று காண்பதற்கு இதற்கென்று கீழேயுள்ள ஒரு [[மீள்வரு தொடர்பு]] (Recurrence relation) உண்டாக்கப்படுகிறது:

 

 

== அடைப்புக்குறியிடும் செயல் ==

எடுத்துக்காட்டாக, abcd என்ற பெருக்கலுக்கு அடைப்புக்குறிகள் ஐந்து விதமாகப்போடலாம்:

 

 

 

 

 

: '''''(a(bc)).d'''''

 

== சன்னல் புள்ளிகள் வழியாக நேர்மைப் பாதைகள் ==

 

<math>(n-1) \times (n-1)</math> சன்னல் புள்ளிகளுள்ள இரு பரிமாண தளத்தில் இடது கீழ் மூலையிலிருந்து வலது மேல் மூலைக்கு சன்னல் புள்ளிகள் வழியாக ஆயத்திசைகளிலேயே போகும் பாதைகள் மூலை விட்டத்தைத் தாண்டாமல் இருந்தால் அவை ‘'''நேர்மைப் பாதைகள்'''' எனப் பெயர் பெறும். இவைகளின் எண்ணிக்கையும் <math>C_n</math> தான்.

ஆக, Aக்கும் Bக்கும் ஒரு இருவழிக்கோப்பு உண்டாக்கப்பட்டுவிட்டது. இதனால் தெரிவது என்னவென்றால் ''(0,0)'' விலிருந்து ''(n-1,n-1)''க்குப்போகும் நேர்மையல்லாத பாதைகளின் மொத்த எண்ணிக்கை, ''(-1,1)'' இலிருந்து ''(n-1, n-1)'' க்குப்போகும் எல்லாப் பாதைகளின் மொத்த எண்ணிக்கையே. இந்த எண்

 

 

ஏனென்றால், வலது பக்கம் எடுக்கப்படவேண்டிய அடிகளின் எண்ணிக்கை ='' n ,'' மற்றும், மொத்த அடிகளின் எண்ணிக்கை = ''(n-1)-(-1) + (n-1)-1 = 2n - 2.''

 

== வட்டத்தில் குறுக்குவெட்டில்லாத நாண்கள் ==

 

''2n'' நபர்கள் வட்டமாக உட்கார்ந்திருக்கும்போது, எல்லோரும் ஒரே நேரத்தில் கைநீட்டி மற்ற யாராவதொருவருடன் கைகுலுக்க, யாருடைய கையும் மற்ற எவருடைய கையையும் குறுக்கே தாண்டாத முறையில் கைகுலுக்க உள்ள வழிகள் <math>C_{n+1}. </math>

(+1), (-1) இவை மாத்திரம் கொண்ட

 

 

இன் மொத்தக்கூட்டுத்தொகை சூனியமாகவும், எல்லா பகுதிக்கூட்டுத் தொகைகளும்(அதாவது, <math>{a_1, a_1 + a_2, a_1 + a_2 + a_3, ...} </math>) எதிர்ம மில்லாமலும் உள்ள ஈருறுப்புத் தொடர்புகளின் எண்ணிக்கை <math>C_n</math>.

இதன் உண்மையை நிறுவவதற்கு இம்மாதிரி ஈருறுப்புத்தொடர்புகளுக்கும், <math>x_1x_2...x_n</math> ஐ அடைப்புக்குறிகளால் அடைக்கப்படும் வழிகளுக்கும் ஒரு இருவழிக்கோப்பு உண்டாக்குவோம். எடுத்துக்காட்டாக, n = 4 என்று கொள்வோம். abcd என்ற பெருக்குத்தொகை ஐந்து வழிகளில் அடைப்புக்குறிகளால் அடைக்கப்படுகிறது. அவைகளில் ஒரு வழி:

 

 

இங்கு 3 பெருக்கல்களும், மூன்று ஜோடி அடைப்புகளும் உள்ளன. குறிப்பு: பெருக்கலின் தொடக்கத்திற்கும் முடிவுக்கும் கூட ஒரு ஜோடி அடைப்புக்குறி போடப்படுகிறது.

 

== மலைப்படிமங்கள் ==

 

''(n-1)'' மேல்நோக்கிக் கோடுகளும் ''(n-1)'' கீழ்நோக்கிக் கோடுகளும் கொண்டதும், அடிவாரத்திற்குக் கீழே போகாததுமான மலைப் படிமங்களின் எண்ணிக்கை <math>C_n</math>.

* Catalan, Eugene. (1844): {{lang|fr|Note extraite d’une lettre adress´ee. J. Reine Angew. Math., 27:192.}}

 

 

* V. Krishnamurthy, C.R. Pranesachar, K.N. Ranganathan, B.J. Venkatachala. Challenge and Thrill of Precollege Mathematics. 2nd edn. 2007 New Age International, New Delhi

[[பகுப்பு:சேர்வியல்]]

[[பகுப்பு:இயற்கணிதம்]]

 

[[ar:عدد كاتالان]]