இருவழிக்கோப்பு: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு
உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது
No edit summary |
|||
வரிசை 1:
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] <math>f: X \rightarrow Y</math> என்ற ஒரு [[சார்பு|சார்பில்]]/[[கோப்பில்]] ஒவ்வொரு <math>y \in Y</math> க்கும் <math>f(x) = y</math> ஆக இருக்கும்படி ஒரே ஒரு <math> x \in X</math> இருக்குமானால் அது அரு '''இருவழிக்கோப்பு''' (''Bijection'') எனப்படும். வேறுவிதமாகச்சொன்னால் <math>Y</math> இலுள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பு <math>y</math> க்கும் <math>X</math> இல் ஒரு தனிப்பட்ட [[முன்னுரு]] இருக்கும்.
இருவழிக்கோப்புகள் [[உள்ளிடுகோப்பு]], [[முழுக்கோப்பு]] ஆகிய இரண்டு பண்புகளையும் கொண்டவை.
வரிசை 5:
[[ஜார்ஜ் கேண்டர்]] தான் முதன்முதலில் இதைப்பற்றிய ஒரு முக்கியமான தேற்றத்தை நிறுவினார்: அதாவது, X இலிருந்து Y க்கும், Y இலிருந்து X க்கும் இரண்டு உள்ளிடுகோப்புகள் இருந்தால் X, Y இரண்டுக்கும் இடையில் ஒரு இருவழிக்கோப்பு இருந்தாகவேண்டும் என்ற தேற்றம். இதற்கு [[கேண்டர்-பர்ன்ஸ்டைன் தேற்றம்]] எனப்பெயர்.
<math>f: X \rightarrow Y</math> என்ற கோப்பு இருவழிக்கோப்பாவதற்கு இலக்கணம்:
வரிசை 11:
<math>\forall y \in F,\, \exist x \in E,\, f(x)=y</math>
[[Image:Bijection.svg|thumb|200px|இருவழிக்கோப்பு.]]
சுற்றுலாப்பயணிகளின் கூட்டமொன்று இராத்தங்க, எல்லா அறைகளும் காலியாக இருக்கும் ஒரு விடுதியில் வந்து சேருகின்றனர். ஒவ்வொரு பயணிக்கும் அறை வழ்ங்க வேண்டும், ஒரு பயணிக்கு ஒரேயொரு அறை வழங்க வேண்டும் ஆகிய விதிகளுக்கு உட்பட்டு அறைகள் வழங்கும் முறையை ஒருகோப்பாக விவரிக்கலாம். (பயணிகள் கணம்: X ; அறைகள் கணம்: Y.)
ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கவேண்டுமென்றால், அறைகளின் எண்ணிக்கை பயணிகளின் எண்ணிக்கையைவிடக் குறைவாக இருக்கக்கூடாது.அப்பொழுது ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கும். இது
ஒவ்வொரு அறையும் நிரப்பப்படவேண்டுமென்றால், பயணிகளின் எண்ணிக்கை அறைகளின் எண்ணிக்கையைவிடக் குறைவாக இருக்கக்கூடாது. அப்பொழுது ஒவ்வொரு அறையிலும் குறைந்த பட்சம் ஒரு பயணியாவது இருப்பர். இது
சில அறைகள் நிரப்பப்படாமலும், சில அறைகளில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பயணிகளும் இருக்கும்படி செய்யப்பட்ட கோப்பு, உள்ளிடுகோப்புமல்ல, முழுக்கோப்புமல்ல. இதை வெறும்
பயணிகளின் எண்ணிக்கையும் அறைகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக இருந்தால், ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கும். ஒரு அறையும் காலியாக இருக்காது. இது
:<math>f : \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}</math>
வரிசை 60:
: <math>g(x) = sin x</math>இருவழிக்கோப்பாகிறது.
[[Image:Bijective_composition.svg|thumb|300px|முதல் கோப்பு (g) உள்ளிடுகோப்பகவும், இரண்டாவது (f) முழுக்கோப்பாகவும் உள்ள சேர்வை <math>f \circ g</math>]]
வரிசை 78:
:* <math>X</math>இலிருந்து <math>X</math>க்கே வரையறுக்கப்பட்ட எல்லா இருவழிக்கோப்புகளும் ' <math>\circ</math> ' என்ற சேர்வை விதிக்கு ஒரு [[குலம் (கணிதம்)|குலமாகும்]]. இதை X இன் '''சமச்சீர்குலம்''' (Symmetric Group on <math>X</math>) என்பர். குறியீடு: S(X) அல்லது <math>S_X</math>
Xம் Yம் முடிவுறு கணங்களாக இருக்கும்போது Xஇலிருந்து Yக்கு ஒரு இருவழிக்கோப்பு இருக்குமானால், X இலுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையும் Y இலுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக இருக்கவேண்டும்.
வரிசை 84:
இவையே முடிவுறாகணங்களாக இருந்தால், இரண்டு கணங்களின் எண்ணளவைகள் ஒன்றாக இருக்கவேண்டும்.
* [[முழுக்கோப்பு]]
* [[உள்ளிடுகோப்பு]]
| |||