விகிதம்: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு
உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது
வரிசை 20:
தற்காலச் சொற்பயன்பாட்டில்,
:எந்தவொரு எண்ணை [[1 (எண்)|ஒன்றை]]விடப் பெரிய முழுஎண்ணால் பெருக்கினால் எடுத்துக்கொண்ட அளவு கிடைக்கிறதோ, அந்த எண்ணானது எடுத்துக்கொண்ட எண்ணின் பங்கு ([[வகுஎண்]]).
:மடங்கு என்பது, எடுத்துக்கொண்ட அளவை [[1 (எண்)|ஒன்றை]]விடப் பெரிய முழுஎண்ணால் பெருக்கக் கிடைப்பதாகும்.
வரிசை 26:
மூன்றாவது வரையறை, விகிதம் என்றால் என்ன என்பதைப் பொதுவாக விளக்குகிறது.
கணிதரீதியாக இவ்வரையறை அவ்வளவாக சீராக இல்லையென்பதால் சிலர் இதனை யூக்ளிட் தந்ததல்ல; அவரது பதிப்பாளர்களால் இணைக்கப்பட்டது என்று கருதுகின்றனர்.<ref>"Geometry, Euclidean" ''[[பிரித்தானிக்கா கலைக்களஞ்சியம் பதினோராம் பதிப்பு]]'' p682.</ref>
:ஒரேவகையான இரு அளவைகளிடையே உள்ள ஒன்றாக, யூக்ளிட் விகிதத்தை வரையறுக்கிறார்.
எனவே இதன்படி, இரு நீளங்கள் அல்லது இரு பரப்பளவுகளின் விகிதங்களை வரையறுக்கலாம். ஆனால் ஒரு நீளம் மற்றும் பரப்பளவுக்கிடையே விகிதத்தை வரையறுக்க முடியாது.
இரு விகிதங்கள் சமமாய் உள்ளன என்பதன் பொருளை, ஐந்தாம் வரையறை வரையறுக்கிறது. தற்காலத்தில், அளவுகளின் ஈவுகள் சமமாக இருந்தால் அவற்றின் விகிதங்கள் சமம் எனக் கூறி விடலாம். ஆனால் அளவுக்கிணங்கா எண்களின் ஈவுகளை யூக்ளிட் ஏற்றுக்கொள்ளாததால் இவ்விளக்கம் அவரைப் பொறுத்தவரை சரியானதாகாது எனவே மேலும் நுட்பமான வரையறை தேவைப்படுகிறது. ஒரு விகிதத்துடன் விகிதமுறு மதிப்பொன்றை இணைக்க முடியாவிட்டாலும் அதனை ஒரு விகிதமுறு எண்ணுடன் ஒப்பிடலாம். ▼
நான்காவது வரையறையானது மூன்றாவது வரையறையை மேலும் மேம்படுத்துகிறது. இவ்வரையறைப்படி,
:ஒன்றின் மடங்கானது மற்றதைவிட அதிகமானதாக உள்ளவாறு இரு அளவுகளுக்கும் மடங்குகள் இருந்தால், அவ்விரு அளவுகளின் விகிதம் காணமுடியும்.
''np'' ஆனது, ''mq'' ஐ விடச் சிறியதாக அல்லது சமமானதாக அல்லது பெரியதாக இருந்தால் ''p'' : ''q'' ஆனது முறையே ''m''/''n'' ஐ விடச் சிறியதாக அல்லது சமமாக அல்லது பெரியதாக இருக்கும். விகித சமம் குறித்த யூக்ளிடின் வரையறைப்படி இரு விகிதங்கள், ஒரு விகிதமுறு எண்ணைவிடச் சிறியதாக, சமமாக அல்லது பெரியதாக இருப்பதைப் பொறுத்து ஒத்த நிலைப்பாடு கொண்டிருந்தால் அவ்விரு விகிதங்கள் சமமாகும். ▼
நவீனக் குறியீட்டில்,
தற்காலக் குறியீட்டில், ''p'', ''q'', ''r'' , ''s'' தரப்பட்டுள்ள அளவுகள்; ''m'' , ''n'' நேர்ம முழுஎண்கள் எனில், ▼
:''mp''>''q'' , ''nq''>''p'' என்றவாறு முழுஎண்கள் ''m'' , ''n'' இருந்தால், ''p'' , ''q'' இரண்டின் விகிதம் காணமுடியும். இது ஆர்க்கிமிடீயப் பண்பு என அழைக்கப்படுகிறது.
▲
தரப்பட்டுள்ள இரு அளவுகள் ''p'' , ''q'', ''m''/''n'' ஒரு விகிதமுறு எண் எனில், ''np'' ஆனது, ''mq'' ஐ விடச் சிறியதாக அல்லது சமமானதாக அல்லது பெரியதாக இருப்பதைப் பொறுத்து, ''p'' : ''q'' ஆனது முறையே ''m''/''n'' ஐ விடச் சிறியதாக அல்லது சமமாக அல்லது பெரியதாக இருக்கும் என்பதைத் தீர்மானிக்கலாம்.
▲
தற்காலக் குறியீட்டில்,
▲
:''nr''<''ms'', ''nr''=''ms'', ''nr''>''ms'' என்பதைப் பொறுத்து முறையே, ''np''<''mq'', ''np''=''mq'', ''np''>''mq'' என இருக்குமானால்:
::''p'':''q'' :: ''r'':''s'' ஆகும்.
ஆறாம் வரையறைப்படி,
ஏழாம் வரையறையில் ஒரு விகிதம் மற்றொரு விகிதத்தைவிடச் சிறியதாக அல்லது பெரியதாக இருப்பதை விளக்குகிறது. இவ்வரையறை ஐந்தாம் வரையறையை அடிப்படையாய்க் கொண்டது.
வரி 47 ⟶ 58:
:''p'', ''q'', ''r'' , ''s'' நான்கும் தரப்பட்ட அளவுகள் எனில், ''m'' , ''n'' முழுஎண்களுக்கு ''np''>''mq'' மற்றும் ''nr''≤''ms'' என்பது உண்மையானால் ''p'':''q'' > ''r'':''s'' ஆகும்.
எட்டாம் வரையறை யூக்ளிடின் பதிப்பாளர்களால் சேர்க்கப்பட்டதாக இருக்கவேண்டும் என்பது சிலரது கருத்தாக உள்ளது.
இவ்வரையறையின்படி, :''p'':''q'' :: ''q'':''r'' எனில், ''p'', ''q'' , ''r'' மூன்றும் விகிதசமனானவை.
இது நான்கு அளவுகளுக்கும் நீட்டிக்கப்படுகிறது:
:''p'':''q'' :: ''q'':''r'' :: ''r'':''s'' எனில், ''p'', ''q'', ''r'' , ''s'' நான்கும் விகிதசமனானவை.
அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் விகிதங்களைச் சமமாகக் கொண்ட தொடர்வரிசைகள் [[பெருக்குத் தொடர்]]கள் எனப்படும். ஒன்பதாம் மற்றும் பத்தாம் வரையறைகள் இதனைக் கொண்டுள்ளன.
:''p'', ''q'' , ''r'' மூன்றும் விகிதசமனானவை எனில், ''p'':''r'' என்பது ''p'':''q'' இன் இருபடிவிகிதம் :''p'', ''q'', ''r'' , ''s'' நான்கும் விகிதசமனானவை எனில், ''p'':''s'' என்பது ''p'':''q'' இன் முப்படிவிகிதம் : ''p'', ''q'' , ''r'' மூன்றும் விகிதசமத்தில் இருந்தால், ''q'' ([[பெருக்கல் சராசரி]] ஆனது ''p'' , ''r'' இன் இடைவிகிதசமன் எனப்படும். அதேபோல ''p'', ''q'', ''r'', ''s'' நான்கும் விகிதசமம் எனில், ''q'' , ''r'' இரண்டும் ''p'', ''s'' இன் இடைவிகிதசமன்களாகும்.
| |||