பொன் விகிதம்: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு
உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது
No edit summary |
|||
வரிசை 21:
வடிவவியலில் அடிக்கடி இப் பொன் விகிதம் தோன்றுவதாலேயே பண்டைக் கிரேக்கர்கள் இது பற்றி ஆய்வு செய்தனர். ஒழுங்கான நட்சத்திர ஐங்கோணம், ஒழுங்கான ஐங்கோணம் ஆகியவற்றின் வடிவவியல் தொடர்பில் ஒரு கோட்டை முடிவு மற்றும் இடை விகிதங்களாகப் பிரிக்க வேண்டியது முக்கியமானது. இக் கருத்துருவை பித்தாகரஸ் அல்லது அவரைப் பின்பற்றுவோரே கண்டுபிடித்ததாகக் கிரேக்கர்கள் நம்புகின்றனர். ஒழுங்கான ஐங்கோணத்தை உள்ளடக்கிய ஒழுங்கான நட்சத்திர ஐங்கோணமே பித்தாகோரியர்களின் சின்னமாகும்.
==கணக்கிடுதல்==
''a'' மற்றும் ''b'' -இரண்டும் தங்க விகிதத்தில் அமைந்திருந்தால்:
:<math> \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi</math>.
:<math> \frac{a+b}{a}</math> -ஐப் பின்வருமாறு சுருக்க:
:<math>\frac{a+b}{a} = 1 + \frac{b}{a} = 1 + \frac{1}{\varphi}</math> கிடைக்கிறது.
ஆனால் :<math> \frac{a+b}{a} = \varphi.</math>
எனவே
:<math> 1 + \frac{1}{\varphi} = \varphi. </math>
''φ'' -ஆல் பெருக்க:
:<math>\varphi + 1 = \varphi^2</math>
:<math>{\varphi}^2 - \varphi - 1 = 0</math>.
இருபடி வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தப் பின்வரும் நேர்மத் தீர்வு கிடைக்கும்:
:<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.61803\,39887\dots</math>.
==கணிதத்தில் ==
===தங்க விகிதத்தின் இணை===
'''φ''' -ன் இருபடிச் சமன்பாட்டின் எதிர்மத் தீர்வு (இணையியத் தீர்வு):
:<math>-\frac{1}{\varphi}=1-\varphi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = -0.61803\,39887\dots</math>.
இதன் எண் மதிப்பு (≈ 0.618) சிறிய அளவுக்கும் மற்றும் பெரிய அளவுக்குமுள்ள விகிதமாகும் (''b/a''). சில நேரங்களில் இம்மதிப்பு தங்க விகிதத்தின் இணை என அழைக்கப்படுகிறது.<ref name="MathWorld GR Conjugate">{{MathWorld|title=Golden Ratio Conjugate|urlname=GoldenRatioConjugate}}</ref> இதன் குறியீடு '''Φ''':
:<math>\Phi = {1 \over \varphi} = {1 \over 1.61803\,39887\ldots} = 0.61803\,39887\ldots</math>.
மாறாக '''Φ''' பின்வருமாறும் தரப்படலாம்:
:<math>\Phi = \varphi -1 = 1.61803\,39887\ldots -1 = 0.61803\,39887\ldots.</math>.
இதிலிருந்து நேர்ம எண்களுக்குள் தங்க விகிதத்தின் பின்வரும் தனித்த பண்பினை அறியலாம்:
:<math>{1 \over \varphi} = \varphi - 1</math>.
இதன் தலைகீழி:
:<math>{1 \over \Phi} = \Phi + 1</math>.
அதாவது:
0.61803... : 1 = 1 : 1.61803....
===மாற்று வடிவங்கள்===
* ''φ'' = 1 + 1/''φ'' -சமன்பாட்டை மீள்வரு முறையில் விரித்து தங்க விகிதத்தினை தொடர் பின்னவடிவில் பெறலாம்:<ref>{{Cite book| title = Concrete Abstractions: An Introduction to Computer Science Using Scheme
| author = Max. Hailperin, Barbara K. Kaiser, and Karl W. Knight | publisher = Brooks/Cole Pub. Co | year = 1998 | isbn = 0-534-95211-9 | url = http://books.google.com/?id=yYyVRueWlZ8C&pg=PA63&dq=continued-fraction+substitute+golden-ratio }}</ref>
:<math>\varphi = [1; 1, 1, 1, \dots] = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}</math>
தலைகீழி:
:<math>\varphi^{-1} = [0; 1, 1, 1, \dots] = 0 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}</math>
* ''φ''<sup>2</sup> = 1 + ''φ'' சமன்பாட்டிலிருந்து தங்க விகிதத்தை தொடர்ச்சியான வர்க்கமூல (முடிவுறா விகிதமுறா மூலம்) வடிவில் பெறலாம்:
:<math>\varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \cdots}}}}</math>.
* தங்க விகிதத்தை முடிலாத் தொடராகப் பெறலாம்:<ref>Brian Roselle, [http://sites.google.com/site/goldenmeanseries/ "Golden Mean Series"]</ref><br />
:<math>\varphi=\frac{13}{8}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{(n+1)}(2n+1)!}{(n+2)!n!4^{(2n+3)}}.</math>
* மேலும் பல வடிவங்கள்:
:<math>\varphi = 1+2\sin(\pi/10) = 1 + 2\sin 18^\circ</math>
:<math>\varphi = {1 \over 2}\csc(\pi/10) = {1 \over 2}\csc 18^\circ</math>
:<math>\varphi = 2\cos(\pi/5)=2\cos 36^\circ</math>
:<math> \varphi = 2\sin(3\pi/10)=2\sin 54^\circ. </math>
இவற்றிலிருந்து ஒழுங்கு ஐங்கோணத்தின் [[மூலைவிட்டம்|மூலைவிட்டத்தின்]] [[நீளம்|நீளமானது]] அதன் பக்கத்தின் நீளத்தைப்போல் φ மடங்கு என்பதையும் ஐந்துமுனையுடைய நட்சத்திர வடிவத்தில் இதுபோன்ற தொடர்புகளையும் அறியலாம்.
===வடிவவியல்===
====ஒரு கோட்டுத்துண்டை தங்க விகிதத்தில் பிரித்தல்====
ஒரு [[கோட்டுத்துண்டு|கோட்டுத்துண்டை]] பின்வரும் [[வடிவவியல்|வடிவியல்]] வரைமுறையில் தங்க விகிதத்தில் பிரிக்கலாம்:
[[File:Goldener Schnitt Konstr beliebt.svg|right|thumb|250px|ஒரு கோட்டுத்துண்டை தங்க விகிதத்தில் பிரித்தல்.]]
* தரப்பட்ட கோட்டுத்துண்டு AB -க்குச் செங்குத்தாகவும் அதன் நீளத்தில் பாதியாகவும் உள்ள கோட்டுத்துண்டு BC வரைய வேண்டும். [[செம்பக்கம் AC]] வரைய வேண்டும்.
* C -ஐ மையமாகவும் BC -ஐ [[ஆரம்|ஆரமாகவும்]] கொண்டு வரையப்படும் [[வட்டம்|வட்டவில்]] AC-ஐ D [[புள்ளி]]யில் வெட்டுகிறது.
A -ஐ மையமாகவும் AD -ஐ ஆரமாகவும் கொண்டு வரையப்படும் வட்டவில் AB-ஐ S புள்ளியில் வெட்டுகிறது.
இப்புள்ளி S, கோட்டுத்துண்டு AB -ஐ தங்க விகிதத்தில் பிரிக்கிறது.
====தங்க முக்கோணம்====
[[File:Golden triangle (math).svg|right|thumb|[[தங்க முக்கோணம்]]]]
[[முக்கோணம்#முக்கோணங்களின் வகைகள்|இருசமபக்க முக்கோணம்]] ABC (கோணங்கள் B, C சமம்), [[கோணம்]] C [[இருசமக்கூறிடல்#கோண இருசமவெட்டி|இருசமக்கூறிடப்படும்போது]] கிடைக்கும் புது [[முக்கோணம்]] CXB, மூல முக்கோணம் ABC -க்கு [[வடிவொப்புமை (வடிவவியல்)#வடிவொத்த முக்கோணங்கள்|வடிவொத்ததாக]] அமையும் பண்பினைக் கொண்ட [[தங்க முக்கோணம்]].
கோணம் C = 2α என்க.
இருசமக்கூறிடப்படுவதால்:
: கோணம் BCX = α,
: கோணம் XCA = α
வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்பின்படி:
: கோணம் CAB = α
முக்கோணம் ABC இருசமபக்க முக்கோணம் என்பதால்:
: கோணம் ABC = 2α
மீண்டும் வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்பின்படி:
: கோணம் BXC = 2α
ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல் 180° என்பதால், முக்கோணம் ABC -ல்:
: 5α = 180, α = 36°.
எனவே முக்கோணம் ABC -ன் கோணங்கள் 36°-72°-72°. விரிகோண இருசமபக்க முக்கோணம் AXC (தங்க நோமோன்) -ன் கோணங்கள் 36°-36°-108°.
XB -ன் நீளம் 1, மற்றும் BC -ன் நீளம் φ என்க.
இருசமபக்க முக்கோணங்களின் பண்பின்படி:
: XC = XA = φ;
: BC = XC = φ;
: AC = AB = φ+1.
முக்கோணங்கள் ABC, CXB இரண்டும் வடிவொத்தவை என்பதால்:
: AC/BC = BC/BX,
: AC = BC<sup>2</sup>/BX = φ<sup>2</sup>.
: ஃ φ<sup>2</sup> = φ+1, எனவே இங்கு φ தங்க விகிதம். முக்கோணம் ABC தங்க முக்கோணம்.
இதேபோல் பெரிய முக்கோணம் AXC-ன் பரப்பிற்கும் சிறிய முக்கோணம் CXB -ன் பரப்பிற்கும் உள்ள விகிதம் '''1/φ''' (Φ). இதில் முக்கோணங்களின் வரிசையை மாற்றக் கிடைக்கும் விகிதம் '''φ - 1.'''
====ஐங்கோணம்====
ஒரு ஒழுங்கு ஐங்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்திற்கும் ஒரு மூலைவிட்டத்திற்குமுள்ள விகிதம் 1/φ. இதன் ஒன்றையொன்று வெட்டிக்கொள்ளும் மூலைவிட்டங்கள் வெட்டிக்கொள்ளும் விகிதம் தங்க விகிதம் ஆகும்.
====ஓடோமின் வரைமுறை====
[[File:Odom.svg|thumb|218 px|<center><math>\tfrac{|AB|}{|BC|}=\tfrac{|AC|}{|AB|}=\phi</math></center>]]
[[அமெரிக்க ஐக்கிய நாடுகள்|அமெரிக்க]] கலைஞரும் வடிவவியல் கணித அறிஞருமான ''ஜார்ஜ் ஓடம்'' ஒரு [[முக்கோணம்#முக்கோணங்களின் வகைகள்|சமபக்க முக்கோணத்தைப்]] பயன்படுத்தி ''φ'' -ஐக் காண ஒரு எளிமையான வழியைக் கண்டுபிடித்துள்ளார்:
* ஒரு வட்டத்துக்குள் ஒரு சமபக்கமுக்கோணம் வரைய வேண்டும்.
* அம்முக்கோணத்தின் இரு பக்கங்களின் [[நடுப்புள்ளி]]களை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டை நீட்டித்து அதை வட்டத்தை வெட்டச் செய்ய வேண்டும்.
* இரு நடுப்புள்ளிகள் மற்றும் வட்டத்தை வெட்டும் புள்ளி, இம்மூன்றும் தங்க விகிதத்தில் அமையும்.
====ஐந்துமுனை நட்சத்திர வடிவம்====
[[File:Pentagram-phi.svg|right|thumb|ஒரு ஐந்துமுனையுடைய நட்சத்திர வடிவின் வெவ்வேறு நீளங்களுடைய கோட்டுத்துண்டுகளை வேறுபடுத்துவதற்காக வெவ்வேறு நிறங்களில் காட்டப்பட்டுள்ளன. நான்கு நீளங்களும் ஒன்றுக்கொன்று தங்க விகிதத்தில் உள்ளன.]]
ஐந்துமுனையுடைய நட்சத்திரங்களின் வடிவியலில் தங்க விகிதம் முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது. விளிம்புகளின் ஒவ்வொரு வெட்டும் பிற விளிம்புகளை தங்க விகிதத்தில் பிரிக்கிறது. மேலும் சிறிய துண்டின் நீளத்திற்கும் இரு வெட்டும் விளிம்புகளுகளால் அடைபடும் துண்டிற்குமுள்ள விகிதம் φ ஆகும். (நட்சத்திர வடிவின் நடுவிலுள்ள ஐங்கோணத்தின் ஒரு பக்கம்).
இந்த நட்சத்திர வடிவில் 10 இருசமபக்க முக்கோணங்கள் (5 குறுங்கோண இருசமபக்க முக்கோணங்கள், 5 விரிகோண இருசமபக்க முக்கோணங்கள்) உள்ளன. இவை எல்லாவற்றிலும் பெரிய பக்கத்திற்கும் சிறிய பக்கத்திற்குமுள்ள விகிதம் φ. 5 குறுங்கோண இருசமபக்க முக்கோணங்களும் தங்க முக்கோணங்கள். 5 விரிகோண இருசமபக்க முக்கோணங்களும் தங்க நோமோன்கள் (golden gnomons).
====டாலமியின் தேற்றம்====
[[File:Ptolemy Pentagon.svg|thumb|டாலமியின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி ஓர் ஒழுங்கு ஐங்கோணத்தில் தங்க விகிதத்தைக் கணக்கிடலாம்.]]
ஓர் ஒழுங்கு ஐங்கோணத்தின் தங்க விகிதப் பண்புகளை, அதன் ஒரு [[உச்சி (வடிவவியல்)|உச்சியை]] நீக்கினால் கிடைக்கும் [[நாற்கரம்|நாற்கரத்தில்]] ''டாலமியின் தேற்றத்தைப்'' பயன்படுத்திக் காணலாம். நாற்கரத்தின் பெரிய விளிம்பும் மூலைவிட்டங்களும் ''b'', மற்றும் சிறிய விளிம்பு ''a'' எனில் டாலமியின் தேற்றத்தின்படி:
:<math>b^2 = a^2 + ab \,</math>
இச்சமன்பாட்டை <math>a^2 </math> -ஆல் வகுத்து, மாற்றி அமைக்க:
:<math>{b^2\over a^2} - {b\over a} - 1 = 0 \,</math>
இருபடி வாய்ப்பாட்டின்படி நேர்மத் தீர்வு:
:<math>{b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}</math>.
==மேற்கோள்கள்==
{{reflist}}
==வெளி இணைப்புகள்==
* [http://demonstrations.wolfram.com/GoldenSection/ "Golden Section"] by Michael Schreiber, [[Wolfram Demonstrations Project]], 2007.
* [http://www.maa.org/devlin/devlin_05_07.html "The Myth That Will Not Go Away"] Mathematical Association of America 2007
* {{MathWorld|title=Golden Ratio|urlname=GoldenRatio}}
* {{cite web|url=http://www.physorg.com/news180531747.html |title=Researcher explains mystery of golden ratio |work=[[PhysOrg]] |date=December 21, 2009 |postscript=<!--None--> }}.
* {{cite web
| url = http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/phi.html
| title = The Golden section ratio: Phi
| last = Knott
| first = Ron
| date =
}} Information and activities by a mathematics professor.
*[http://web.archive.org/web/20071105084747/http://www.contracosta.cc.ca.us/math/pentagrm.htm The Pentagram & The Golden Ratio]. Green, Thomas M. Updated June 2005. Archived November 2007. Geometry instruction with problems to solve.
[[ar:رقم ذهبي]]
[[ast:Númberu áureu]]
[[bn:সোনালী অনুপাত]]
[[bg:Златно сечение]]
[[bar:Goidner Schnitt]]
[[bs:Zlatni rez]]
[[ca:Secció àuria]]
[[cs:Zlatý řez]]
[[da:Det gyldne snit]]
[[de:Goldener Schnitt]]
[[et:Kuldlõige]]
[[el:Χρυσή τομή]]
[[en:Golden ratio]]
[[es:Número áureo]]
[[
[[ext:Númiru aureu]]
[[eu:Urrezko zenbakia]]
[[fa:نسبت طلایی]]
[[fr:Nombre d'or]]
[[fy:Gouden fyk]]
[[gl:Número áureo]]
[[
[[hr:Zlatni rez]]
[[ia:Ration auree]]
[[is:Gullinsnið]]
[[it:Sezione aurea]]
[[
[[ka:ოქროს კვეთა]]
[[kk:Алтын қатынас]]
[[la:Divina proportio]]
[[lv:Zelta griezums]]
[[lb:Gëllene Schnëtt]]
[[lt:Fi]]
[[
[[hu:Aranymetszés]]
[[ml:സുവർണ്ണ അനുപാതം]]
[[ms:Nisbah Keemasan]]
[[nl:Gulden snede]]
[[
[[no:Det gylne snitt]]
[[nn:Det gylne snittet]]
[[oc:Nombre d'aur]]
[[pa:ਸੁਨਹਿਰੀ ਰਾਤਿਓ]]
[[pms:Nùmer d'òr]]
[[pl:Złoty podział]]
[[pt:Proporção áurea]]
[[ro:Secțiunea de aur]]
[[ru:Золотое сечение]]
[[sq:Prerja e artë]]
[[scn:Nùmmuru d'oru]]
[[si:රන්මය අනුපාතය]]
[[simple:Golden ratio]]
[[sk:Zlatý rez]]
[[sl:Zlati rez]]
[[
[[sr:Златни пресек]]
[[sh:Zlatni rez]]
[[fi:Kultainen leikkaus]]
[[sv:Gyllene snittet]]
[[tr:Altın oran]]
[[uk:Золотий перетин]]
[[ur:وثق باب ریاضیات]]
[[vi:Tỷ lệ vàng]]
[[zh-classical:黃金分割]]
[[vls:Gulden Snee]]
[[zh:黄金分割]]
| |||