சேர்வு (கணிதம்)

கணிதத்தில் சேர்வு (Combination) அல்லது சேர்மானம் , வரிசைமாற்றம் (Permutation), என்ற இரண்டு அடிப்படைக் கருத்துக்கள் பல நூற்றாண்டுகளாகப் புழக்கத்தில் இருந்து வருகின்றன. ஒரு கணத்திலிருந்து ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையில் உறுப்புக்களைத் தேர்ந்தெடுத்தால் இச்செயல் ஒரு சேர்வு எனப்படும்.இச்செயலினால் கிடைக்கும் உட்கணத்திற்கும் சேர்வு என்றே பெயர்.

மாறாக, கணத்தின் உறுப்புக்களை ஒரு வரிசையில் வைத்து, அவ்வரிசையில் உள்ள உறுப்புகளின் அடுக்கத்தை மாற்றி அமைத்தால் இம்மாற்றடுக்கத்திற்கு வரிசைமாற்றம் எனப்படும். மாற்றிக்கிடைத்த வரிசைக்கும் வரிசைமாற்றம் என்றே பெயர். சேர்வு என்பதில் வரிசை என்ற கருத்து இடர்ப்படாது. இவ்விரண்டு கருத்துக்களாகிற விதைகளிலிருந்து சிறு சிறு செடிகளாகப் பல வேறுபட்ட இடங்களில் வேரூன்றி முளைத்து 19ம் நூற்றாண்டில் பெரிய ஆலமரமாகப் பரவி அதன் விழுதுகள் புள்ளியியல், இயற்பியல், வேதியியல், இயலறிவியல்கள் இன்னும் பல அறிவியல் பிரிவுகளிலும் இன்றியமையாத கணிதக் கரணமாகப் பயன்படத் தொடங்கின. இருபதாவது நூற்றாண்டில் அவ்விழுதுகளும் எல்லா பயன்பாடுகளும் ஒன்றுசேர்க்கப் பட்டு இன்று கணிதத்தில் சேர்வியல் (Combinatorics) என்ற ஒரு மிகப் பெரிய பிரிவாகத் திகழ்கிறது. இக்கட்டுரையில் சேர்வு என்ற அடிக் கருத்தைப் பார்ப்போம். சேர்வு என்ற சொல் தமிழ்நாட்டுப் பாட நூல்களில் புழங்கி வருகிறது. சேர்மானம் என்ற சொல் இலங்கைத் தமிழர் வழக்கு.

வரையறை

முதலில் ஓர் எடுத்துக்காட்டு. ஐந்து நபர்கள் உள்ள ஒரு கூட்டத்திலிருந்து, வேறு எந்த நிபந்தனைகளுமில்லாமல் இரண்டு நபர்களை எத்தனை விதமாக பொறுக்கலாம் என்றால் அது 10 என்று அறிவோம். இதே கேள்வியை குறியீட்டில் கீழ்க்காணுமாறு குறிக்கலாம்:

$S=\{a,b,c,d,e\}$

$S$ இலிருந்து இரண்டு நபர்களைப் பொறுக்கக்கூடிய வழிகள்: $\{a,b\};\{a,c\};\{a,d\};\{a,e\};\{b,c\};\{b,d\};\{b,e\};\{c,d\};\{c,e\};\{d,e\}$.

பொதுமைப்படுத்தினால்,

$n$ உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு கணத்திலிருந்து $r$ உறுப்புகளைச் சேர்வு கொள்ள உள்ள வழிகளின் எண்ணிக்கையைக் குறியீட்டில் :

$C(n,r)$ அல்லது $C_{r}^{n}$ அல்லது ${\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}}$

$C_{2}^{5}={5 \choose 2}={\frac {5!}{2!(5-2)!}}=10.$

என்பதுதான் மேலேயுள்ள எடுத்துக்காட்டு.

மேலும் ஒரு சுருக்கமான முறை:

${n \choose k}={\frac {(n-0)}{(k-0)}}\times {\frac {(n-1)}{(k-1)}}\times {\frac {(n-2)}{(k-2)}}\times {\frac {(n-3)}{(k-3)}}\times \cdots \times {\frac {(n-(k-1))}{(k-(k-1))}}.$

எடுத்துக்காட்டாக:

${5 \choose 2}={\frac {5}{2}}\times {\frac {4}{1}}=10.$

${70 \choose 4}={\frac {70}{4}}\times {\frac {69}{3}}\times {\frac {68}{2}}\times {\frac {67}{1}}=916895.$

நியூட்டனின் ஈருறுப்புத்தேற்றம்

(தனிக்கட்டுரையைப்பார்க்கவும்)

$(a+b)^{n}=a^{n}+{n \choose 1}a^{n-1}b+{n \choose 2}a^{n-2}b^{2}+...+{n \choose n}b^{n}$

பாஸ்கல் முக்கோணம்

பாஸ்கலின் முக்கோணம் அவருடைய நிகழ்தகவு நூலில் பிரசுரிக்கப்பட்டுப் பயன்படுத்தப்பட்டது. ஈருறுப்புக்கெழுக்களை கணிப்பதற்குப் பயன்படும் இந்த முக்கோணத்தினுடைய மதிப்பு பாஸ்கலுடைய நிகழ்தகவுப் பிரச்சினைகளில் பயன்படுத்தப்பட்ட பிறகு தான் தெரிய வந்தது. அதனாலேயே அது இன்றும் பாஸ்கல் முக்கோணம் என்ற பெயரில் புழங்குகிறது.

இம்முக்கோணத்தில் ஒவ்வொரு உறுப்பும் அதற்கு மேல் வரியில் அதற்கு இருபக்கமும் உள்ள எண்களின் கூட்டுத்தொகை. அதனுடைய ஒவ்வொரு நிரையும், ஒவ்வொரு குறிப்பிட்ட $n$ க்கு $(a+b)^{n}$ என்ற ஈருறுப்பின் அடுக்கினுடைய கெழுக்கள். எடுத்துக் காட்டாக, மேலிருந்து 3ஆவது நிரை $(a+b)^{3}$ இன் கெழுக்கள்.