ஜேக்கோபியின் நான்கு இருமடியெண் தேற்றம்

ஜேக்கோபியின் நான்கு-இருமடியெண் தேற்றம், (Jacobi's four-square theorem) கொடுக்கப்பட்ட நேர்ம முழு எண் n -ஐ நான்கு இருமடியெண்களின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடப்படும் வழிகளின் எண்ணிக்கைக்கான வாய்ப்பாட்டை அளிக்கிறது.

வரலாறு

இத்தேற்றம் 1834 இல் கார்ல் குஸ்தாவ் ஜேக்கோப் ஜேக்கோபி என்பவரால் நிரூபிக்கப்பட்டது.

தேற்றம்

குறிப்பு

ஒரு நேர்ம எண்ணின் இரு நான்கு இருமடியெண்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதப்படும் உருவகிப்புகளிலுள்ள இருமடியெண்களின் வரிசை வேறுபட்டிருந்தாலோ அல்லது வர்க்கப்படுத்தப்படும் எண்கள் வேறுபட்டாலோ இரண்டும் வெவ்வேறானவையாகக் கொள்ளப்படும். கீழே 1 ஐக் குறிக்கும் எட்டு வெவ்வேறு வழிகளில் மூன்று வழிகள் தரப்பட்டுள்ளன:

${\begin{aligned}&1^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}\\&0^{2}+1^{2}+0^{2}+0^{2}\\&(-1)^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}.\end{aligned}}$

தேற்றத்தின் கூற்று

நான்கு இருமடியெண்களின்கூட்டுத்தொகையாக n ஐக் குறிக்கும் வழிகளின் எண்ணிக்கை, n ஒற்றைப்படையாக இருந்தால் n இன் வகுப்பிகளின் கூட்டுத்தொகையின் எட்டு மடங்கும், n சமமாக இருந்தால் n இன் ஒற்றைப்படை வகுப்பிகளின் கூட்டுத்தொகையின் 24 மடங்கும் ஆகும் ( வகுப்பான் செயல்பாட்டைப் பார்க்கவும்), அதாவது:

$r_{4}(n)={\begin{cases}8\sum \limits _{m|n}m&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\[12pt]24\sum \limits _{\begin{smallmatrix}m|n\\m{\text{ odd}}\end{smallmatrix}}m&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\end{cases}}$

இதேபோல, ஒரு நேர்ம எண்ணை எழுதக்கூடியவழிகளின் எண்ணிக்கையானது 4 ஆல் வகுபடாத அதன் அனைத்து வகுப்பிகளின் கூட்டுத்தொகையின் எட்டு மடங்காக இருக்கும். அதாவது:

$r_{4}(n)=8\sum _{m\mid n,\,4\nmid m}m.$

இதனை பின்னுள்ளவாறும் எழுதலாம்:

$r_{4}(n)=8\sigma (n)-32\sigma (n/4)\,$

n 4 ஆல் வகுபடவில்லை என்றால் இரண்டாவது உறுப்பு பூச்சியமாக எடுத்துக்கொள்ளப்படும். குறிப்பாக, ஒரு பகா எண்ணுக்கான வெளிப்படையான வாய்பாடு: 

r₄(p) = 8(p + 1).

n இரட்டையெண்ணாக இருக்கும்போது, r ₄ ( n ) இன் சில மதிப்புகள் r₄(n) = r₄(2^mn) r ₄ ( n ) எனப் பெரும்பாலும் அமையலாம். மேலும், r₄(n) இன் மதிப்புகள் மிகப்பெரியதாகவும் அமையலாம். அதாவது, r ₄ ( n ) இன் மதிப்பு பெரும்பான்மையான சமயங்களில் 8 √ log n ஐ விடப் பெரியதாக இருக்கும்.

ஜேக்கோபியின் முப்பெருக்கத்திலிருந்து எளியமுறையில் இத்தேற்றத்தை நிறுவமுடியும்.

மேற்கோள்கள்

• Hirschhorn, Michael D.; McGowan, James A. (2001). "Algebraic Consequences of Jacobi's Two— and Four—Square Theorems". Symbolic Computation, Number Theory, Special Functions, Physics and Combinatorics. Developments in Mathematics. Vol. 4. Springer. pp. 107–132. எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1007/978-1-4613-0257-5_7. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-1-4020-0101-7.
• Hirschhorn, Michael D. (1987). "A simple proof of Jacobi's four-square theorem". Proceedings of the American Mathematical Society 101 (3): 436. doi:10.1090/s0002-9939-1987-0908644-9. 
• Williams, Kenneth S. (2011). Number theory in the spirit of Liouville. London Mathematical Society Student Texts. Vol. 76. Cambridge University Press. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-521-17562-3.

வெளி இணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W. "Sum of Squares Function". MathWorld.