ஜேக்கோபியின் நான்கு இருமடியெண் தேற்றம்
ஜேக்கோபியின் நான்கு-இருமடியெண் தேற்றம், (Jacobi's four-square theorem) கொடுக்கப்பட்ட நேர்ம முழு எண் n -ஐ நான்கு இருமடியெண்களின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடப்படும் வழிகளின் எண்ணிக்கைக்கான வாய்ப்பாட்டை அளிக்கிறது.
வரலாறு தொகு
இத்தேற்றம் 1834 இல் கார்ல் குஸ்தாவ் ஜேக்கோப் ஜேக்கோபி என்பவரால் நிரூபிக்கப்பட்டது.
தேற்றம் தொகு
- குறிப்பு
ஒரு நேர்ம எண்ணின் இரு நான்கு இருமடியெண்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதப்படும் உருவகிப்புகளிலுள்ள இருமடியெண்களின் வரிசை வேறுபட்டிருந்தாலோ அல்லது வர்க்கப்படுத்தப்படும் எண்கள் வேறுபட்டாலோ இரண்டும் வெவ்வேறானவையாகக் கொள்ளப்படும். கீழே 1 ஐக் குறிக்கும் எட்டு வெவ்வேறு வழிகளில் மூன்று வழிகள் தரப்பட்டுள்ளன:
- தேற்றத்தின் கூற்று
நான்கு இருமடியெண்களின்கூட்டுத்தொகையாக n ஐக் குறிக்கும் வழிகளின் எண்ணிக்கை, n ஒற்றைப்படையாக இருந்தால் n இன் வகுப்பிகளின் கூட்டுத்தொகையின் எட்டு மடங்கும், n சமமாக இருந்தால் n இன் ஒற்றைப்படை வகுப்பிகளின் கூட்டுத்தொகையின் 24 மடங்கும் ஆகும் ( வகுப்பான் செயல்பாட்டைப் பார்க்கவும்), அதாவது:
இதேபோல, ஒரு நேர்ம எண்ணை எழுதக்கூடியவழிகளின் எண்ணிக்கையானது 4 ஆல் வகுபடாத அதன் அனைத்து வகுப்பிகளின் கூட்டுத்தொகையின் எட்டு மடங்காக இருக்கும். அதாவது:
இதனை பின்னுள்ளவாறும் எழுதலாம்:
n 4 ஆல் வகுபடவில்லை என்றால் இரண்டாவது உறுப்பு பூச்சியமாக எடுத்துக்கொள்ளப்படும். குறிப்பாக, ஒரு பகா எண்ணுக்கான வெளிப்படையான வாய்பாடு:
- r4(p) = 8(p + 1). [1]
n இரட்டையெண்ணாக இருக்கும்போது, r 4 ( n ) இன் சில மதிப்புகள் r4(n) = r4(2mn) r 4 ( n ) எனப் பெரும்பாலும் அமையலாம். மேலும், r4(n) இன் மதிப்புகள் மிகப்பெரியதாகவும் அமையலாம். அதாவது, r 4 ( n ) இன் மதிப்பு பெரும்பான்மையான சமயங்களில் 8 √ log n ஐ விடப் பெரியதாக இருக்கும். [1]
ஜேக்கோபியின் முப்பெருக்கத்திலிருந்து எளியமுறையில் இத்தேற்றத்தை நிறுவமுடியும். [2]
குறிப்புகள் தொகு
- ↑ 1.0 1.1 Williams 2011.
- ↑ Hirschhorn, Michael D. (2000). "Partial Fractions and Four Classical Theorems of Number Theory". The American Mathematical Monthly 107 (3): 260–264. doi:10.2307/2589321. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_2000-03_107_3/page/260.
மேற்கோள்கள் தொகு
- Hirschhorn, Michael D.; McGowan, James A. (2001). "Algebraic Consequences of Jacobi's Two— and Four—Square Theorems". Symbolic Computation, Number Theory, Special Functions, Physics and Combinatorics. Developments in Mathematics. 4. Springer. பக். 107–132. doi:10.1007/978-1-4613-0257-5_7. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-1-4020-0101-7.
- Hirschhorn, Michael D. (1987). "A simple proof of Jacobi's four-square theorem". Proceedings of the American Mathematical Society 101 (3): 436. doi:10.1090/s0002-9939-1987-0908644-9.
- Williams, Kenneth S. (2011). Number theory in the spirit of Liouville. London Mathematical Society Student Texts. 76. Cambridge University Press. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-521-17562-3.
வெளி இணைப்புகள் தொகு
- Weisstein, Eric W. "Sum of Squares Function". MathWorld.