டேக்கார்ட்டின் தேற்றம்

வடிவவியலில் பிரெஞ்ச்சு அறிஞர் ரெனே டேக்கார்ட்டின் பெயரில் வழங்கும் டேக்கார்ட்டின் தேற்றம் அல்லது தெக்காட்டின் தேற்றம் என்பது ஒன்றை ஒன்று தொட்டுக்கொண்டிருக்குமாறு நான்கு வட்டங்களின் உறவைப் பற்றியது. இவற்றை முத்தமிடும் நான்கு வட்டங்கள் என்று கூறுவதுண்டு. ஒன்றை ஒன்று தொட்டுக்கொண்டு இருக்குமாறு மூன்று வட்டங்கள் இருந்தால், மூன்று வட்டங்களையும் தொட்டுக்கொண்டு இருக்குமாறு நான்காவது வட்டத்தை வரைய இத்தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தலாம்.

வரலாறு

தொடு வட்டங்களைப் பற்றி ஈராயிரம் ஆண்டுகளுக்கும் மேலாக ஆய்வுகள் செய்து வந்துள்ளார்கள். பண்டைய கிரேக்கத்தில் (கி.மு. 300களில்) வாழ்ந்த பெர்கா ஊரைச் சேர்ந்த பெர்கா அப்போலினியசு என்பவர் தொடுகோடுகள் பற்றி ஒரு தனி நூலே எழுதியுள்ளார், ஆனால் அது இன்று கிடைக்கும் அவர் நூல்களில் ஒன்றாக இல்லை.

ரெனே டேக்கார்ட் கி.பி. 1643 இல் பொஃகீமிய இளவரசியார் எலிசபெத் என்பாருக்கு எழுதிய ஒரு கடிதத்தில் இந்தத் தொடுவட்டங்களைப் பற்றி ஒரு தீர்வை (கீழே கொடுத்துள்ள சமன்பாடு 1) ஒரு கடிதத்தில் எழுதியிருந்தார். இதன் பயனாக இத்தேற்றத்திற்கு இவர் பெயர் வழங்கலாயிற்று.

1921 ஆண்டுக்கான வேதியியல் துறை நோபல் பரிசு பெற்ற பெடரிக் சோடி என்னும் அறிஞர் இந்தத் தீர்வை 1936 இல் மீண்டும் கண்டுபிடித்தார். இக்காலத்தில் இந்த முத்தமிடும் வட்டங்கள் அல்லது தொடுவட்டங்கள் என்பவை சோடியின் வட்டங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. பெடரிக் சோடி கண்ட தீர்வைப் புகழ்பெற்ற நேச்சர் என்னும் ஆய்விதழில் ஒரு செய்யுளாக (பாடலாக) எழுதியிருந்தார் (நேச்சர், ஜூன் 20, 1936). சோடி அவர்கள் இதன் நீட்சியாகத் தொடு உருண்டைகளுக்கும் தீர்வு தந்தார்.தொரோல்டு கோசெட் என்பார் இச்செய்யுளை எந்த எண்ணிக்கையுள்ள திரட்சிக்கும் (arbitrary dimensions) ஆக விரிவாக்கினார்.

வட்டத்தின் வளைவு

தொடுவட்டங்கள் (அல்லது முத்தமிடும் வட்டங்கள்). ஒன்றை ஒன்று தொடுமாறு மூன்று வட்டங்கள் இருந்தால் (கறுப்பு), நான்காவது வட்டம் மற்ற மூன்றையும் தொடுமாறு இருக்கவேண்டுமெனில் அதன் ஆரம் என்னவாக இருக்க வேண்டும்? பொதுவாக இரு விடைகள் உண்டு. (சிவப்பு). எண்கள் வட்டங்களின் வளைவுகளைக் குறிக்கின்றன. வளைவு = 1/(ஆரம்).

டேக்கார்ட்டின் தேற்றத்தைத் தெளிவாகக் கூறுவதற்கு வட்டங்களின் வளைவு என்னும் ஒரு எளிமையான கருத்து பயனுடையதாக இருக்கும். ஒரு வட்டம் எவ்வளவு “விரைவாக” வளைகின்றது என்பதை வளைவு என்கிறார்கள். ஒரு வட்டத்தின் ஆரம் r என்றால், அதன் வளைவு k = ±1/r' ஆகும். ஒரு வட்டம் பெரியதாக இருந்தால், ஆரம் பெரியதாக இருக்கும், ஆகவே வளைவு குறைவாக இருக்கும். வளையாத ஒரு நேர்க்கோட்டையும் ஒரு முடிவில்லா நீளம் கொண்ட ஆரம் உடைய ஒரு வட்டமாகக் கருதினால், அதன் வளைவு சுழியாகும். k = ±1/r'’ = 1/∞ = 0. வளைவு k = ±1/r என்பதில் உள்ள கூட்டல் குறி, பிற வட்டங்களுடன் இவ்வட்டம் “வெளிப்புறம்” ஆகத் தொடுகின்றது பொருள். ஒரு பெரிய வட்டத்திற்குள் இன்னொரு சிறிய வட்டம் தொடுவட்டமாக இருந்தால் கழித்தல் குறி பயன்படும். எனவே உள்புறமாகத் தொட்டால் கழித்தல், வெளிப்புறமாக முட்டித்தொட்டால் கூட்டல் குறி.

டேக்கார்ட்டின் தேற்றம்

ஒன்றுக்கொன்று தொடுவட்டமாக அமைந்த நான்கு வட்டங்களின் வளைவுகள் k_i (for i = 1,…,4), என்றால், டேக்கார்ட்டின் தேற்றம் என்ன கூறுகிறது என்றால்,

$(1)$

$(k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})^{2}=2\,(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{4}^{2}).$

மூன்று முத்தமிடும் அல்லது தொடு வட்டங்கள் உள்ளபொழுது, நான்காவது தொடுவட்டத்தின் ஆரத்தைக் கண்டுபிடிக்கக் கீழ்க்காணுமாறு மேலுள்ள சமன்பாட்டை எழுதலாம்s:

$(2)$

$k_{4}=k_{1}+k_{2}+k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}+k_{2}k_{3}+k_{3}k_{1}}}.$

மேலுள்ளதில் கூட்டல் குறி ( ± ) இருப்பது இரண்டு பொதுத் தீர்வுகள் உள்ளதைக் காட்டுகின்றது. மற்ற கணிப்புகளின் அடிப்ப்டையில் இவற்றுள் ஒன்றை சரியான தீர்வாகத் தேறலாம்.

ஆரங்களின் அடிப்படையில் இந்த வாய்பாட்டைக் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்:

$\left(\pm {\frac {1}{r}}_{1}+{\frac {1}{r}}_{2}+{\frac {1}{r}}_{3}+{\frac {1}{r}}_{4}\right)^{2}=2\left({\frac {1}{r_{1}^{2}}}+{\frac {1}{r_{2}^{2}}}+{\frac {1}{r_{3}^{2}}}+{\frac {1}{r_{4}^{2}}}\right).$

சில தனித் தீர்வுகள்

ஒரு வட்டத்தை வளைவு அற்ற நேர்க்கோடாகக் கொண்டாலும் டேக்கார்ட்டின் தேற்றம் செல்லும்.

மூன்று வட்டங்களில் ஒன்று நேர்க்கோடாக இருந்தால், எடுத்துக்காட்டாக வளைவு k₃, சுழியாக இருந்தால், அது சமன்பாடு (1) இல் இருந்து விடுபடுகின்றது. எனவே சமன்பாடு ( 2) ஆனது, இன்னும் எளிமையாக மாறுகின்றது:

$(3)$

$k_{4}=k_{1}+k_{2}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}}}.$

ஆனால் இரண்டோ அதற்கு மேற்பட்ட வட்டங்களோ நேர்க்கோடாக இருந்தால் டேக்கார்டின் தேற்றம் செல்லாது. அதே போல ஒரு வட்டத்திற்கு மேலானவை உட்புறமாகத் தொடும் வட்டங்களாக இருந்தாலும், டேக்கார்ட்டின் தேற்றம் செல்லாது. எடுத்துக்காட்டாக மூன்று வட்டங்கள் ஒன்றுக்குள் ஒன்றாக ஒரே புள்ளியில் தொட்டுக்கொண்டு இருந்தால் இத்தேற்றம் செல்லாது.

சிக்கலெண் டேக்கார்ட் தேற்றம்

வட்டத்தைத் தெளிவாக அறிய ஆரம் மட்டும் தெரிந்தால் போதாது. அதன் நடுப்புள்ளி எங்கு என்பதும் தெரிய வேண்டும். இதற்காக அதன் ஆள்கூறுகளை (x, y) சிக்கலெண்களாகக் கொண்டால் பயனுடையதாக இருக்கும் z = x + i y. இப்பொழுது இச்சமன்பாடு டேக்கார்ட்டின் தேற்றம்போல் இது தோற்றம் அளிப்பதால், இதனைச் சிக்கலெண் டேக்கார்ர்டின் தேற்றம் எனப்படுகின்றது.

நான்கு வட்டங்களின் வளைவுகளும் k_i , அவ்வட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளின் ஆள்கூறுகளும் z_i (for i = 1…4), கொடுக்கப்பட்டால், சமன்பாடு (1) உடன், கீழ்க்காணும் சமன்பாடும் உண்மையாக இருக்கும்:

$(4)$

$(k_{1}z_{1}+k_{2}z_{2}+k_{3}z_{3}+k_{4}z_{4})^{2}=2\,(k_{1}^{2}z_{1}^{2}+k_{2}^{2}z_{2}^{2}+k_{3}^{2}z_{3}^{2}+k_{4}^{2}z_{4}^{2}).$

சமன்பாடு (2) ஐக் கொண்டு வளவு k₄ ஐக் கண்டுபிடித்த பின், நடுப்புள்ளி z₄ ஐக் கண்டுபிடிக்கச் சமன்பாடு (4)ஐ சமன்பாடு (2)ஐப்போல மாற்றி எழுதலாம். முன்போலவே இப்பொழுதும், k₄ இக்கான இரு தீர்வுகளுக்கு ஏற்ப பொதுவாக வளைவு z₄ இக்கும் இரு தீர்வுகள் இருக்கும்.

வெளி இணைப்புகள்

• Interactive applet demonstrating four mutually tangent circles at cut-the-knot
• The Kiss Precise பரணிடப்பட்டது 2008-01-18 at the வந்தவழி இயந்திரம்
• XScreenSaver: Screenshots :: An XScreenSaver display hack visualizes Descartes’ theorem, in hack “Apollonian”.
• Jeffrey C. Lagarias, Colin L. Mallows, Allan R. Wilks: Beyond The Descartes Circle Theorem