தொகுமுறை வகுத்தல்

இயற்கணிதத்தில், தொகுமுறை வகுத்தல் (synthetic division) என்பது பல்லுறுப்புக்கோவை நெடுமுறை வகுத்தலைக் குறைவான படிகளில் செய்யக்கூடிய ஒரு வழிமுறையாகும். பெரும்பாலும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை, ஈருறுப்புக்கோவைகளால் ($x-a\$) வகுக்க இம்முறையானது பயன்படுத்தப்படுத்தப்பட்டாலும், தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவைகள் உட்பட்ட பிற பல்லுறுப்புக்கோவைகளால் வகுப்பதற்கும் பயன்படுத்தலாம்.

இம்முறையில் வகுக்கும் போது கோவைகளின் மாறிகளை எழுத வேண்டிய அவசியமில்லை, கெழுக்களை மட்டும் எழுதினால் போதும். குறைவான படிநிலைகளில் வகுத்தலை செய்து முடித்து விடலாம். நெடுமுறை வகுத்தலைவிட தாளில் எடுத்துக்கொள்ளும் இடத்தின் அளவு குறைவானது. மேலும் நெடுமுறை வகுத்தலில் கழித்தல் பயன்படுத்தப்படும் இடங்களில் தொகுமுறை வகுத்தலில் வகுகோவையின் கெழுக்களின் குறிகள் எதிராக்கப்பட்டு கூட்டல் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

தொகுமுறை வகுத்தல்

ஒரு படி-தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவை $x-a$ ஆல் வகுத்தல்:

${\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}$

வகுக்கவேண்டிய பல்லுறுப்புக்கோவையின் கெழுக்களை ஒரு வரிசையில் மேற்புறம் எழுதிக்கொள்ள வேண்டும். (x உறுப்பு இல்லாததால் அதனை 0x என எடுத்துக்கொள்ள, அதற்கான கெழு 0 ).

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&&\\\hline \end{array}}\end{array}}$

வகுகோவையில் கெழுக்களின் குறிகளை எதிராக்கி,

${\begin{array}{rr}-1x&+3\end{array}}$ தலைக்கெழு தவிர்த்த பிற கெழுக்களைக் வகுகோட்டிற்கு இடப்புறம் எழுதக்கொள்ள வேண்டும்:

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&&\\\hline \end{array}}\end{array}}$

வகுபடுகோவையின் தலைக்கெழுவை கிடைக்கோட்டிற்குக் கீழிறக்க:

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&&\\\hline 1&&&\\\end{array}}\end{array}}$

கீழிறக்கிய எண்ணை வகுகோட்டிற்கு இடப்புறமுள்ள வகுகோவையின் கெழுவால் பெருக்கி அடுத்த நிரலில் எழுதுக்கொள்ள வேண்டும்.

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&3&&\\\hline 1&&&\\\end{array}}\end{array}}$

பின் அந்த நிரல் எண்களைக் கூட்ட வேண்டும்.

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{c}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&3&&\\\hline 1&-9&&\\\end{array}}\end{array}}$

மேலே செய்த இரு செயற்களை அதற்கடுத்தத்த நிரல்களுக்கும் தொடர வேண்டும்.

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{c}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&3&-27&-81\\\hline 1&-9&-27&-123\end{array}}\end{array}}$

வகுகோட்டிற்கு இடப்புறம் ஒரு எண் மட்டும் உள்ளதால், மீதிக்கோவையின் படி பூச்சியமாகும்.

ஒரு நெடுகோட்டின் மூலம் மீதியையும் ஈவையும் பிரித்தெழுத:

${\begin{array}{rrr|r}1&-9&-27&-123\end{array}}$

வலமிருந்து இடமாக ஈவுக்கோவையின் உறுப்புகளின் படிகள் பூச்சியத்திலிருந்து ஏறுவரிசையில் தரப்படுகிறது:

${\begin{array}{rrr|r}1x^{2}&-9x&-27&-123\end{array}}$

வகுத்தலின் முடிவு:

${\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}=x^{2}-9x-27-{\frac {123}{x-3}}$

மீதித் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு மாறியிலமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவையின் மதிப்பைக் காண, தொகுமுறை வகுத்தல் மிகவும் பயனுள்ளது. மீதித் தேற்றத்தின்படி $x=a$ இல், பல்லுறுப்புக்கோவை $p(x)$ இன் மதிப்பானது, ${\frac {p(x)}{(x-a)}}$ வகுத்தலில் கிடைக்கும் மீதியாகும். $p(x)$ ஐ $x-a$ ஆல் தொகுமுறையில் வகுத்து மீதி கண்டுபிடிப்பது மூலம் $p(a)$ இன் மதிப்பை எளிதாகக் கணக்கிடலாம்.

விரிவாக்கப்பட்டத் தொகுமுறை வகுத்தல்

இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவைகளால் வகுப்பதற்குத் தொகுமுறை வகுத்தல் விரிவாக்கப்படுகிறது.

${\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x^{2}+x-3}}$

வகுக்கவேண்டிய பல்லுறுப்புக்கோவையின் கெழுக்களை வரிசையாக மேற்புறம் எழுதிக்கொள்ள வேண்டும்:

${\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\end{array}}$

வகுகோவையில் கெழுக்களின் குறிகளை எதிராக்கி,

${\begin{array}{rrr}-1x^{2}&-1x&+3\end{array}}$

வகுகோட்டிற்கு இடப்புறம், வகுகோவையின் கெழுக்களில் இடதுபுற முதல் கெழுவைத் தவிர மற்றவற்றை மேல்நோக்கு வலது மூலைவிட்ட வடிவில் எழுதிக்கொள்ள வேண்டும்.:${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&3\\-1&\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&&\\&&&\\\hline \end{array}}\end{array}}$

வகுபடுகோவையின் இடதுமுதல் கெழுவைக் கிடைக்கோட்டிற்குக் கீழ் இறக்க:

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&3\\-1&\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&&\\&&&\\\hline 1&&&\\\end{array}}\end{array}}$

இறக்கிய எண்ணை வகுகோட்டிற்கு இடப்புற மூலைவிட்டஅமைப்பு எண்களால் பெருக்கிக் கிடைக்கும் விடையை கீழிறக்கிய எண்ணிலிருந்து வலப்புற மூலைவிட்ட அமைப்பில் எழுதிக்கொள்ள வேண்டும்.

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&3\\-1&\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&3&\\&-1&&\\\hline 1&&&\\\end{array}}\end{array}}$

இறக்கிய எண்ணுள்ள நிரலுக்கு அடுத்த நிரலைக் கூட்ட:

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&3\\-1&\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&3&\\&-1&&\\\hline 1&-13&&\\\end{array}}\end{array}}$

மீண்டும் இதே செயல்களைத் தொடர:

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&3\\-1&\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&3&-39\\&-1&13&\\\hline 1&-13&16&\\\end{array}}\end{array}}$

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&3\\-1&\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&3&-39\\&-1&13&\\\hline 1&-13&16&-81\\\end{array}}\end{array}}$

வகுகோட்டிற்கு இடப்புறம் இரு எண்கள் உள்ளதால், வகுத்தலில் கிடைக்கும் மீதிக்கோவையின் படி ஒன்றாக இருக்கும். எனவே கூட்டி எழுதிய விடைகளைக் கொண்ட வரிசையின் வலப்புறத்திலிருந்து இரு எண்கள் வகுத்தலின் மீதிக் கோவையின் கெழுக்களாகவும், மற்றவை ஈவுக்கோவையின் கெழுக்களாகவும் இருக்கும். அவற்றை ஒரு நெடுக்கோட்டால் பிரித்துக் காட்ட:

${\begin{array}{rr|rr}1&-13&16&-81\end{array}}$

பூச்சியத்திலிருந்து ஏறுவரிசையில் படிகள் கொண்டவாறு மீதிக்கோவை, ஈவுக்கோவை இரண்டிலும் உறுப்புகளை வலமிருந்து இடமாக எழுத:

${\begin{array}{rr|rr}1x&-13&16x&-81\end{array}}$

எனவே வகுத்தலின் முடிவு:

${\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x^{2}+x-3}}=x-13+{\frac {16x-81}{x^{2}+x-3}}$

தலையொற்றை வடிவிலமையா வகுகோவைகள்

தொகுமுறை வகுத்தலை தலையொற்றைக் கோவைகளுக்கு மட்டுமல்லாது மற்ற பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கும் பொதுமைப்படுத்தலாம்.

வகுகோவை $g(x)$ ஐ அதன் தலைக்கெழுவால் ( a) வகுத்த பிறகு ($h(x)={\frac {g(x)}{a}}$) தொகுமுறையில் $h(x)$ ஆல் வகுக்க வேண்டும். இதில் கிடைக்கும் ஈவை a ஆல் வகுத்துத் தேவையான விடையைப் பெறலாம்.

இவ்வாறு செய்யும்போது சிலசமயங்களில் பின்னக் கெழுக்கள் கிடைக்கலாம். இதனைத் தவிர்ப்பதற்கு, முதலில் வகுகோவையை அதன் தலைக்கெழுவால் வகுக்காமல், தலையொற்றைக் கோவைகளால் வகுப்பதற்குத் தொடங்குவதுபோலவே, வகுபடுகோவையின் தலைக்கெழுவைக் கீழிறக்கிக் கொள்ள வேண்டும். கீழிறக்கிய எண்ணை வகுகோவையின் தலைக்கெழுவால் வகுத்துக் கொள்ள வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு:

${\frac {6x^{3}+5x^{2}-7}{3x^{2}-2x-1}}$

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&&\\&&&\\\hline &&&\\&&&\\\end{array}}\end{array}}$

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&&\\&&&\\\hline 6&&&\\&&&\\\end{array}}\end{array}}$

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&&\\&&&\\\hline 6&&&\\2&&&\\\end{array}}\end{array}}$

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&2&\\&4&&\\\hline 6&&&\\2&&&\\\end{array}}\end{array}}$

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&2&\\&4&&\\\hline 6&9&&\\2&3&&\\\end{array}}\end{array}}$

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&2&3\\&4&6&\\\hline 6&9&&\\2&3&&\\\end{array}}\end{array}}$

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&2&3\\&4&6&\\\hline 6&9&8&-4\\2&3&&\\\end{array}}\end{array}}$

${\begin{array}{rr|rr}2x&+3&8x&-4\end{array}}$

${\frac {6x^{3}+5x^{2}-7}{3x^{2}-2x-1}}=2x+3+{\frac {8x-4}{3x^{2}-2x-1}}$

விரிவாக்கப்பட்ட தொகுமுறை வகுத்தலின் வேறுவடிவம்

வகுபடுகோவையின் அடுக்கில் பாதியை விட அதிகப் படியுள்ளதாக வகுக்கும்கோவை இருக்கும்போது, மூலைவிட்ட அமைப்புகொண்ட விரிவாக்கப்பட்ட தொகுமுறை வகுத்தல் எடுத்துக்கொள்ளும் இடத்தின் அளவு அதிகமாகிறது. இதனைத் தவிர்ப்பதற்காக, கீழ்க்காணும் முறை பின்பற்றப்படுகிறது.

${\dfrac {ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h}{ix^{4}-jx^{3}-kx^{2}-lx-m}}=nx^{3}+ox^{2}+px+q+{\dfrac {rx^{3}+sx^{2}+tx+u}{ix^{4}-jx^{3}-kx^{2}-lx-m}}$

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\\\\\\\j&k&l&m\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&&&&qj&&&\\&&&pj&pk&qk&&\\&&oj&ok&ol&pl&ql&\\&nj&nk&nl&nm&om&pm&qm\\a&b&c&d&e&f&g&h\\\hline a&o_{0}&p_{0}&q_{0}&r&s&t&u\\n&o&p&q&&&&\\\end{array}}\end{array}}$

• வகுபடுகோவையின் கெழுக்கள் ஒரு வரிசையில் எழுதப்படுகிறது:

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{|rrrrrrrr}a&b&c&d&e&f&g&h\\\hline \end{array}}\end{array}}$

• வகுகோவையின் முதல் கெழுவைத் தவிர இதர கெழுக்களுக்கு எதிர்க் குறியிட்டு வகுகோட்டிற்கு இடதுபுறம் எழுதிக்கொள்ளப்படுகிறது.

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}j&k&l&m\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrrrrrr}a&b&c&d&e&f&g&h\\\hline \end{array}}\end{array}}$

• வகுகோட்டிற்கு இடப்புறம் எத்தனை கெழுக்கள் எழுதப்பட்டுள்ளனவோ அதே எண்ணிகையிலான வகுபடுகோவையின் கெழுக்களை வலதுபுற ஓரத்திலிருந்து கணக்கிட்டு இடையில் ஒரு நெடுக்கோடு ஈவுக்கோவையையும் மீதிக்கோவையையும் பிரித்துக்காட்டும் வகையில் வரையப்படுகிறது.

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}j&k&l&m\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr|rrrr}a&b&c&d&e&f&g&h\\\hline &&&&&&&\\\end{array}}\end{array}}$

• அடுத்து, வகுபடுகோவையின் முதல் கெழு கீழிறக்கப்படுகிறது:

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}j&k&l&m\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr|rrrr}a&b&c&d&e&f&g&h\\\hline a&&&&&&&\\\end{array}}\end{array}}$

• கீழிறிக்கிய எண்ணை வகுகோவையின் தலைக்கெழு வகுக்க வேண்டும். இந்த எடுத்துக்காட்டில்:

$n={\dfrac {a}{i}}$.

• இந்த எண்ணால் வகுகோட்டின் இடப்புறமுள்ள எண்களைப் பெருக்கக் கிடைக்கும் எண்களை அடுத்துள்ள நிரல்களின் மேல் எழுதிக்கொள்ள வேண்டும்:

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\j&k&l&m\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&nj&nk&nl&nm&&&\\a&b&c&d&e&f&g&h\\\hline a&&&&&&&\\n&&&&&&&\\\end{array}}\end{array}}$

• அடுத்த நிரலின் கூட்டுத்தொகையைக் காணவேண்டும்.

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\j&k&l&m\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&nj&nk&nl&nm&&&\\a&b&c&d&e&f&g&h\\\hline a&o_{0}&&&&&&\\n&&&&&&&\\\end{array}}\end{array}}$

• இடையில் வரைந்துள்ள நெடுக்கோட்டிற்கு முந்தைய எண்வரை மேலே செய்த செயல்களைச் செய்ய வேண்டும்.

$o={\dfrac {o_{0}}{i}}$.

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\\\j&k&l&m\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&&oj&ok&ol&&&\\&nj&nk&nl&nm&om&&\\a&b&c&d&e&f&g&h\\\hline a&o_{0}&p_{0}&&&&&\\n&o&&&&&&\\\end{array}}\end{array}}$

$p={\dfrac {p_{0}}{i}}$.

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\\\\\j&k&l&m\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&&&pj&pk&&&\\&&oj&ok&ol&pl&&\\&nj&nk&nl&nm&om&pm&\\a&b&c&d&e&f&g&h\\\hline a&o_{0}&p_{0}&q_{0}&&&&\\n&o&p&&&&&\\\end{array}}\end{array}}$

$q={\dfrac {q_{0}}{i}}$.

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\\\\\\\j&k&l&m\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&&&&qj&&&\\&&&pj&pk&qk&&\\&&oj&ok&ol&pl&ql&\\&nj&nk&nl&nm&om&pm&qm\\a&b&c&d&e&f&g&h\\\hline a&o_{0}&p_{0}&q_{0}&r&&&\\n&o&p&q&&&&\\\end{array}}\end{array}}$

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\\\\\\\j&k&l&m\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&&&&qj&&&\\&&&pj&pk&qk&&\\&&oj&ok&ol&pl&ql&\\&nj&nk&nl&nm&om&pm&qm\\a&b&c&d&e&f&g&h\\\hline a&o_{0}&p_{0}&q_{0}&r&s&t&u\\n&o&p&q&&&&\\\end{array}}\end{array}}$

${\dfrac {ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h}{ix^{4}-jx^{3}-kx^{2}-lx-m}}=nx^{3}+ox^{2}+px+q+{\dfrac {rx^{3}+sx^{2}+tx+u}{ix^{4}-jx^{3}-kx^{2}-lx-m}}$

மேற்கோள்கள்

• Lianghuo Fan (2003). "A Generalization of Synthetic Division and A General Theorem of Division of Polynomials". Mathematical Medley 30 (1): 30–37. http://eprints.soton.ac.uk/168861/1/FLH_article_on_polynomial_division.pdf. 
• Li Zhou (2009). "Short Division of Polynomials". College Mathematics Journal 40 (1): 44–46. doi:10.4169/193113409x469721. https://archive.org/details/sim_college-mathematics-journal_2009-01_40_1/page/44. 

வெளியிணைப்புகள்

• Len Goodman; Christopher Stover; and Eric W. Weisstein, "Synthetic Division", MathWorld.
• Christopher Stover, "Ruffini's Rule", MathWorld.