பல்லுறுப்புக் கோவை மீதியத் தேற்றம்

இயற்கணிதத்தில் பல்லுறுப்புக் கோவை மீதியத் தேற்றம் (Polynomial remainder theorem) என்பதும் சிறிய பெசூவின் தேற்றம் (Little Bézout's theorem) என்பதும்^[1] பல்லுறுப்புக் கோவை ஒன்றை இன்னொரு பல்லுறுப்புக் கோவையால் வகுத்தலைப் பற்றியும் அதன் மீதத்தைப் பற்றியதும் ஆகும். இது, பல்லுறுப்புக் கோவை $f(x)\,$ என்பதை நேரியல் $x-a\,$ என்பதால் வகுத்தால் (நெடிய வழி வகுத்தல்) மீதியாகக் கிட்டுவது $f(a)\,$ என்று கூறுகிறது. குறிப்பாக, $f(r)=0,$ ஆக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, $f(x)$ இன் வகுஎண்ணாக $x-r$ இருக்கும்.^[2] இப்பண்பு காரணித் தேற்றம் என அறியப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1

$f(x)=x^{3}-12x^{2}-42\,$ என்று கொண்டால். பல்லுறுப்புக் கோவை $f(x)\,$ -ஐ $(x-3)\,$ -ஆல் வகுத்தால் கிடைக்கும் ஈவு $x^{2}-9x-27\,$ , மீதம்: $-123\,$ . ஆகவே, $f(3)=-123\,$ .

எடுத்துக்காட்டு 2

$f(x)=ax^{2}+bx+c$ என்ற இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு இயற்கணிதமுறையில் கணக்கிட்டு மீதியத் தேற்றம் உண்மையாவதைக் காணலாம்:

{\begin{aligned}{\frac {f(x)}{x-r}}&={\frac {a{x^{2}}+bx+c}{x-r}}\\&={\frac {a{x^{2}}-arx+arx+bx+c}{x-r}}\\&={\frac {ax(x-r)+(b+ar)x+c}{x-r}}\\&=ax+{\frac {(b+ar)(x-r)+c+r(b+ar)}{x-r}}\\&=ax+b+ar+{\frac {c+r(b+ar)}{x-r}}\\&=ax+b+ar+{\frac {a{r^{2}}+br+c}{x-r}}\end{aligned}}

இருபுறமும் (x − r) ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது:

f(x)=ax^{2}+bx+c=(ax+b+ar)(x-r)+{a{r^{2}}+br+c}

.

இதிலிருந்து கிடைக்கும் மீதிப்பகுதி $R=ar^{2}+br+c$ ஆனது $f(r)$ ஆக இருப்பதைக் காணலாம். எனவே மீதியத் தேற்றக்கூற்று ( $f(r)=R$ ) என்பது உண்மையென அறியலாம்.

நிறுவல்

பல்லுறுப்புக் கோவை மீதியத் தேற்றத்தை நிறுவக் கீழ்க்காணுமாறு அணுகுவோம். பல்லுறுப்புக் கோவை ஒன்றை நெடியவழியாக வகுப்பதாகக் கொண்டால், அதில் பயன்படும் வகுப்பி, கிட்டும் ஈவு, மீதி ஆகியவற்றை முறையே, $g(x)\,$ , $q(x)\,$ , $r(x)\,$ , என்று குறிப்போம், நெடியவழி வகுத்தல், கீழ்க்காணும் சமன்பாட்டுக்குத் தீர்வு தருகின்றது (அல்லது நெடியவழி வகுத்தலின் பகுதிகளை இணைக்கும் சமன்பாடு).