தொடர் சார்பு வெளி (கணிதம்)

சார்புப் பகுவியல் (Functional Analysis) என்பது கணிதத்தில் இருபதாவது நூற்றாண்டில் தொடங்கப்பட்ட முக்கிய பிரிவு. 18, 19 வது நூற்றாண்டுகளில் சார்புகளைப்பற்றி நாம் அறிந்ததெல்லாம், இடவியல் சாதனத்தைக் கொண்டு சார்புகளையே புள்ளிகளாக்கி அவைகளுடைய வெளிகளில் பகுவியல் நடத்தினர். இதற்கெல்லாம் முதல் படிதான் தொடர்சார்புவெளி (Space of Continuous Functions).

[a, b] என்ற இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட எல்லா தொடர் சார்புகளுடைய கணம் F என்று கொள்வோம். அதாவது, F இலுள்ள உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றும் ஒரு சார்பு f  : (a, b) → R. இங்கு R என்பது எல்லா மெய்யெண்களின் கணம்.

f, g என்பவைகள் F இல் இரண்டு உறுப்புகளென்றால் f + g ஐ இப்படி வரையறுக்கலாம்:

[a, b] இல் உள்ள ஒவ்வொரு x க்கும்,

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$

இதற்கு சார்புகளின் புள்ளிவழிக் கூட்டல் என்று பெயர்.

இக்கூட்டல் சேர்ப்புக் கூட்டல், பரிமாற்றுக் கூட்டல், என்ற நிறுவலெல்லாம் புகுவியலில் (Analysis) அரிச்சுவடி. மற்றும் கூட்டலுக்கு F க்குள் ஒரு முற்றொருமையும் உள்ளது. எப்படியென்றால்,

0 என்ற சார்பின் வரையறையைப்பார்:

[a, b] இல் உள்ள ஒவ்வொரு x க்கும்,

0(x) = 0.

இப்பொழுது F இல் உள்ள ஒவ்வொரு f க்கும், 0 + f = f + 0.

மற்றும் ஒவ்வொரு f க்கும் ஒரு நேர்மாறு -f இருக்கிறது. அந்த நேர்மாறு -f என்னவென்பதற்கு ஒவ்வொரு x என்ற புள்ளியிலும் -f இனுடைய மதிப்பு என்னவென்று சொல்லவேண்டும். அது கீழுள்ள வரையறையில் அடங்கியுள்ளது.

[a, b] இல் உள்ள ஒவ்வொரு x க்கும்,

(-f)(x) = - (f(x))

இந்த -f தான் f இன் நேர்மாறு. ஏனென்றால், நாம் இப்பொழுது -f + f = 0 = f + (-f) என்று எளிதில் காண்பித்துவிடலாம்.

சார்புகளுக்குள் பெருக்கலுக்கும் இதே முறை தான். அதாவது, f . g ஐ

[a, b] இல் உள்ள ஒவ்வொரு x க்கும்,

$(f.g)(x)=f(x).g(x)$

என்று வரையறுக்கலாம்.

புகுவியல் கோட்பாடுகளின்படி f + g, f . g இரண்டும் தொடர் சார்புகளே.

ஆக, F என்ற கணத்தில், இருவினைகள் உள்ளன. முதல் வினைக்கு, அதாவது, சார்புகளின் கூட்டல் வினைக்கு F ஒரு எபெலியன் குலம் (Abelian Group) ஆகிறது. அது மட்டும் அல்ல இரு வினைகளுக்கும் F ஒரு வளையமே (Ring) ஆகிறது. இதற்கு தொடர் சார்பு வளையம் (Ring of Continuous Functions) என்று பெயர்.

தொடர் சார்பு இடவியல் வெளி

F என்ற வெளியில் ஒரு இடவியல் அமைப்பை உண்டுபண்ணலாம். மிக எளிதான வழி அதனில் ஒரு தொலைவை வரையறுப்பதே.

தொலைவு வரையறை: F இல் f, g என்ற இரண்டு உறுப்புகள் (இவைகள் தொடர் சார்புகளே) இருந்தால்,

d(f, g) = sup{|f(x) – g(x)| : x € [a, b]}

இது ஒரு தொலைவு (distance metric) தான், அதாவது, தொலைவுக்கு வேண்டிய மூன்று நிபந்தனைகளையும் இது ஒப்புகிறது.

இந்தத்தொலைவுடன் F ஒரு தொலைவு வெளி (metric space) ஆகிறது. அதனாலேயே இடவியல் வெளியாகவும் (Topological Space) ஆகிறது. அதனால் அருகாமை (Neighbourhood), ஒருங்கல் (convergence) முதலிய எல்லாம் இந்த வெளியில் சாத்தியமாகிறது. இதுதான் நுண்பியப்படுத்தப்பட்ட பகுவியலின் முதல் படி. இத்தொலைவு வெளிக்கு ஒரு நிலையான குறியீடு C[a, b] என்பது.

ஆக, கணித மரபின் நுண்பிய வழக்கப்படி, சாதாரண எண்களைக்கொண்டு உண்டாக்கிய கூட்டல், கழித்தல் முதலிய வினைகளை இப்பொழுது சார்புகள் உலகமாகிற மேல் தளத்தில் செய்வதால் பல அரிய பெரிய நுணுக்கங்களைக் கண்டுபிடிக்கமுடிந்தது. அதோடு மட்டுமல்லாமல் அவைகளை கணித இயலர்களும் இயற்பியலர்களும் குவாண்டம் நிலையியக்க வியலிலும் (Quantum Mechanics) எடுத்துச்சென்று பயன்படுத்தி வெற்றி கண்டார்கள்.