நேரியல் சார்பின்மை

கணிதத்தில் நேரியல் இயற்கணிதப்பிரிவில் நேரியல் சார்பின்மை(Linear independence) யும் நேரியல் சார்புடைமையும் (Linear dependence) அடிப்படைக் கருத்துகள். V என்ற திசையன் வெளி யில் $S=\{u_{1},u_{2},...,u_{n}\}$ என்ற திசையன்களின் கணம் நேரியல் சார்புடையது என்பதற்குப் பொருள், அவைகளில் ஏதாவதொன்று மற்றவைகளின் நேரியல் சேர்வு என்பதே. எடுத்துக்காட்டாக, $V_{3}$ இல்

{(1,0,0), (1,2,-3), (0,1,-3/2)} என்ற கணம் நேரியல் சார்புடையது. ஏனென்றால்,

(1,2,-3) = 1(1,0,0) + 2(0,1,-3/2).

S இல் எதுவுமே மற்றவைகளின் நேரியல் சேர்வாக இல்லையானால், அது நேரியல் சார்பின்மை என்ற பண்பை உடையது அல்லது நேரியல் சார்பற்றது எனப்படும். எடுத்துக்காட்டாக, $V_{3}$ இல்

{(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)} என்ற கணம் நேரியல் சார்பற்றது.

அதாவது, இதனில் எதுவும் மற்ற இரண்டின் நேரியல் சேர்வாக இருக்கமுடியாது. துல்லியமான மாதிரி நிறுவலுக்குக் கீழே பார்க்கவும்.

வரையறை

$V=V^{\mathbf {F} }$ என்பது ஒரு திசையன் வெளி. அதனில் $S=\{u_{1},u_{2},...,u_{n}\}$ என்பது ஒரு உட்கணம், அல்லது திசையன்களின் குழு. இக்குழு நேரியல் சார்பின்மை உடையது என்பதன் இலக்கணம் பின்வருமாறு:

(*):$\alpha _{1}u_{1}+\alpha _{2}u_{2}+...+\alpha _{n}u_{n}$ சூனியத்திசையன் ஆகவேண்டுமானால் $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ என்ற எல்லா அளவெண்களும் சூனியங்களாக இருக்கவேண்டும்.

(*) என்ற நிபந்தனைக்குக் கட்டுப்படவில்லையானால், S நேரியல் சார்புடையது எனப்படும்.

குறிப்பு: நேரியல் சார்பின்மை, நேரியல் சார்புடைமை ஆகிய பண்புகள் திசையன்களைக்கொண்ட ஒரு உட்கணம் அல்லது குழுவைப்பற்றியது. தனிப்பட்ட ஒரு திசையனின் பண்பல்ல.

விளக்கம்: S நேரியல் சார்புடையது என்றால் (*) என்ற நிபந்தனைக்குக் கட்டுப்படவில்லை என்று பொருள். அதாவது, ஏதாவது ஒரு, அல்லது சில, அளவெண்கள் $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ சூனியமல்லாததாகவே இருக்க,

$\alpha _{1}u_{1}+\alpha _{2}u_{2}+...+\alpha _{n}u_{n}=\mathbf {0}$

என்ற சமன்பாடும் உண்மையாக இருக்கும். இதனால் நமக்குக் கிடைப்பது, $u_{1},u_{2},...,u_{n}$ என்ற திசையன்களில் ஏதாவதொன்று மற்ற திசையன்களின் நேரியல் சேர்வு என்பதுதான்.

உட்கணத்தின் அளாவல்

V என்ற திசையன் வெளியில் S என்ற உட்கணத்தின் அளாவல் (Span) என்பது S இலுள்ள உறுப்புகளின் எல்லாமுடிவுறு நேரியல் சேர்வுகளும் கொண்ட கணம். அதற்குக் குறியீடு [S]. விரித்துச்சொன்னால்,

[S] = {$\alpha _{1}u_{1}+\alpha _{2}u_{2}+...+\alpha _{n}u_{n}:\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ ஏதாவது அளவெண்கள், n ஒரு இயல்பெண், மற்றும், $u_{1},u_{2},...,u_{n}\in S$}.

[S] ஒரு உள்வெளி. அது மட்டுமல்ல. அது Sஐ உள்ளடக்கிய மிகச்சிறிய உள்வெளி.

n = 1: [S] = {$\alpha _{1}u_{1}:\alpha _{1}\in \mathbf {F}$}. வடிவியல் பாங்கில் சொன்னால், இது தொடக்கப்புள்ளி வழியாகவும், $u_{1}$ வழியாகவும் செல்லும் நேர்கோடு.

n = 2: [S] = {$\alpha _{1}u_{1}+\alpha _{2}u_{2}:\alpha _{1},\alpha _{2}\in \mathbf {F}$}. வடிவியல் பாங்கில் சொன்னால், இது தொடக்கப்புள்ளி வழியாகவும், $u_{1},u_{2}$ வழியாகவும் செல்லும் தளம்.

நேரியல் சார்பின்மையின் இதர பண்புகள்

V என்ற திசையன் வெளியில்

• $u=\mathbf {0}$ ஆக இருந்தால், இருந்தால் தான், $\{u\}$ நேரியல் சார்புடையதாக இருக்கும்.
• இரண்டு திசையன்கள் $u_{1},u_{2}$ களில் ஒன்று மற்றொன்றின் அளவெண் பெருக்கலாக இருந்தால், இருந்தால் தான், $\{u_{1},u_{2}\}$ நேரியல் சார்புடையதாக இருக்கும்.
• n திசையன்கள் $u_{1},u_{2},...,u_{n}$ களில் ஏதாவதொன்று மற்றவைகளின் அளாவலில் இருந்தால், இருந்தால்தான், அவை நேரியல் சார்புடையதாய் இருக்கும்.
• ஒரு கணம் நேரியல் சார்பற்றதாயிருந்தால், அதனுடைய எந்த வெற்றற்ற உட்கணமும் நேரியல் சார்பற்றது.
• ஒரு கணம் நேரியல் சார்புடையதாயிருந்தால், அதனுடைய எந்த மேற்கணமும் நேரியல் சார்புடையது.
• {$u_{1}\neq 0,u_{2},...,u_{n}$} என்பது திசையன்களின் ஒரு வரிசையுள்ள கணமானால், அது நேரியல் சார்புடையதாக இருந்தால், இருந்தால் தான், $u_{2},u_{3},...,u_{n}$ களில் ஏதாவதொன்று ($u_{k}$ என்று சொல்லலாமே) அதற்கு முந்தினவைகளின், அதாவது, $u_{1},u_{2},...,u_{k-1}$ களின் அளாவலில் இருக்கும். குறியீட்டில் சொன்னால் $u_{k}\in [u_{1},u_{2},...,u_{k-1}]$

எடுத்துக்காட்டுகள்

1. $V_{3}$: S = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}.

$\alpha (1,0,0)+\beta (0,1,0)+\gamma (0,0,1)=\mathbf {0} =(0,0,0)$ என்று கொண்டால், நமக்குக்கிடைப்பது: $\alpha =0,\beta =0,\gamma =0$.

ஆக, S நேரியல் சார்பற்றது.

2. $V_{4}$ : S = {A=(1,1,0,2), B=(0,1,1,2), C=(0,0,1,1), D=(1,0,0,1)}

$\alpha (1,1,0,2)+\beta (0,1,1,2)+\gamma (0,0,1,1)+\delta (1,0,0,1)=(0,0,0,0)$

$\alpha =1,\beta =-1,\gamma =1,\delta =-1$ இதை சரியாக்குகிறது.

ஆக, S நேரியல் சார்புடையது. இதை உறுதிப்படுத்தும் வழியில் ஏதாவதொன்றை மற்றவைகளின் சேர்வாகச்சொல்லலாம்:

(1,0,0,1) = 1(1,1,0,2) -1(0,1,1,2) +1(0,0,1,1)

இதற்கு வடிவியற்பொருள் குறிப்பிடத்தக்கது: D என்ற புள்ளி A, B, C, ஆகிய மூன்று புள்ளிகளால் ஆக்கப்பட்ட தளத்தில் இருக்கிறது.

அணிக்கோட்பாட்டிலிருந்து ஒரு தேற்றம்

பார்க்கவும்: அணிகளின் அளவை

${V_{n}}^{\mathbf {R} }$ இலிருந்து m திசையன்கள் எடுத்து அவைகளை ஒரு $n\times m$ அணி M இன் நிரல் திசையன்களாகக்கொண்டு, அவ்வணியைக் குறுவரிசைப்படி(row-reduced echelon form) ஆக்கினதும், வெற்றில்லாத நிரல்களின் எண்ணிக்கை r என்று கண்டால்,முதலில் எடுத்த m திசையன்களில் நேரியல் சார்பற்ற திசையன்களின் மிகப்பெரிய எண்ணிககை r ஆகும்.

இதன் கிளைத்தேற்றம்: ${V_{n}}^{\mathbf {R} }$ இலிருந்து எடுக்கப்பட்ட n திசையன்களை நிரல் திசையன்களாகக்கொண்ட ஒரு n-பரிமாண சதுர அணி M இன் அணிக்கோவையின் மதிப்பு சூனியமானால், ஆனால் தான், அவை நேரியல் சார்புடையவை.

இதனால், எ.கா. #2 க்கு, அணிக்கோவை கருத்து மூலம் மாற்று வழி:

அணிக்கோவை ${\begin{vmatrix}1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&1&1&0\\2&2&1&1\end{vmatrix}}$

இதைச்சுருக்கி மதிப்பு கணித்தால், கிடைப்பது 0. ஆக நான்கு நிரல் திசையன்களும் நேரியல் சார்புடையது என்பது தேற்றத்திலிருந்து அறிகிறோம்.

முடிவுறாக்கணங்களின் நேரியல் சார்பின்மை

திசையன் வெளி V இன் ஒரு முடிவுறாக்கணம் S நேரியல் சார்பற்றது என்று சொல்லப்பட வேண்டுமென்றால், அதன் ஒவ்வொரு முடிவுள்ள உட்கணமும் நேரியல் சார்பற்றதாக இருத்தல் வேண்டும்.

எ.கா.: பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் வெளியான ${\mathcal {P}}$ ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். இதனில் S = {1, x, x², x³, .... } ஒரு நேரியல் சார்பற்ற முடிவுறாக்கணம்.

${\mathcal {P}}$ என்ற குறியீட்டுக்கு திசையன் வெளி கட்டுரையைப் பார்க்கவும்.

துணை நூல்கள்

• Serge Lang. Introduction to Linear Algebra. 1986. Springer Science, Inc. New York. ISBN 0-387-96205-0.
• V. Krishnamurthy, V.P. Mainra & J.L. Arora.An Introduction to Linear Algebra. 1976. Affiliated East West Press PVT Ltd. New Delhi. ISBN 81-85095-15-9