அடிப்படை இயற்கணிதம், இயற்பியல் மற்றும் பொறியியலில் திசையன் (vector) அல்லது காவி என்பது அளவும் திசையும் கொண்டதொரு வடிவவியல் பொருளாகும். சிலசமயங்களில் இத்திசையன்,

  • வடிவியல் திசையன் (geometric vector)[1]
  • இடவெளித்திசையன் (spatial vector) [2]
  • யூக்ளிடிய திசையன் (Euclidean vector) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

பெரும்பாலும் ஒரு திசையனானது, குறிப்பிட்ட திசையிடப்பட்ட கோட்டுத்துண்டாகவோ அல்லது ஆரம்பப் புள்ளி A மற்றும் இறுதிப் புள்ளி B -யை இணைக்கும் அம்பாகவோ, வரைபடம் மூலமாகக் குறிக்கப்படுகிறது.[3] இதன் குறியீடு ஆகும். இத்திசையன்களின் கூட்டல் இணைகர விதிப்படி அமையும்.

ஒரு திசையன் என்பது, A -புள்ளியை B -புள்ளிக்கு எடுத்துச் செல்லத் தேவையான ஒன்றாகும். வெக்டர் எனும் லத்தீன் மொழிச் சொல்லின் பொருள் எடுத்துச் செல்வது ஆகும்.[4] A , B -புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரம் அத்திசையனின் அளவையும் A -லிருந்து B -க்குள்ள இடப்பெயர்ச்சி அதன் திசையையும் தருகின்றன. மெய்யெண்களிலுள்ள கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், எதிர்மறை போன்ற அடிப்படை இயற்கணிதச் செயல்களுக்கு ஒத்த செயல்கள் திசையன்களுக்கும் உண்டு. மேலும் அச்செயல்கள், பரிமாற்றுத்தன்மை, சேர்ப்புத்தன்மை, பங்கீட்டுத் தன்மை போன்ற வழக்கமான இயற்கணிதப் பண்புகளையும் கொண்டிருக்கும். திசையன்களின் இச்செயல்களும் அதன் தொடர்பான விதிகளுமே அவற்றைத் திசையன் வெளியின் உறுப்புகளாக வரையறுக்கப்படும் கருத்துருவின் பொதுமைப்படுத்தலாக்குகின்றன.

இயற்பியலில் திசையன்கள் முக்கியப்பங்கு வகிக்கின்றன: ஒரு நகரும் துகளின் திசைவேகம், முடுக்கம் மற்றும் அதன்மீது செயல்படும் விசை ஆகிய அனைத்தும் திசையன்களாக விவரிக்கப்படுகின்றன. இன்னும் பல இயற்பியல் அளவுகளும் திசையன்களாகக் கருதப்படும்போது பயனுள்ளவையாக அமைகின்றன. அவற்றில் பெரும்பான்மையானவை தூரத்தையோ அல்லது இடப்பெயர்ச்சியையோ குறிக்காவிடினும் அவற்றின் நீளம் மற்றும் திசை ஒரு அம்பின் மூலமாகக் குறிப்பிடப்படலாம். ஒரு இயற்பியல் திசையனின் கணிதக் குறியீடு, அதனை விவரிக்க எடுத்துக்கொள்ளப்படும் ஆய அச்சு முறைமையைப் பொறுத்து அமையும்.

திசையன் - ஒரு கண்ணோட்டம்தொகு

இயற்பியலிலும் பொறியியலிலும் திசையனானது அளவு, திசை என்ற இரண்டு பண்புகளைக் கொண்டதொரு வடிவவியல் பொருளாகக் கருதப்படுகிறது. யூக்ளிடிய வெளியில் அமைந்த ஒரு திசையிடப்பட்ட கோட்டுத்துண்டு அல்லது ஒரு அம்பாகவும் திசையன் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது[5].

தூய கணிதத்தில் (pure mathematics), திசையன் வெளியில் அமைந்த பொதுவானதொரு உறுப்பாக வரையறுக்கப்படுகிறது. இவ்வாறு வரையறுக்கப்படும் திசையன், அளவும் திசையும் கொண்டிராத நுண்மப் பொருளாக அமைகிறது. இந்த பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வரையறையிலிருந்து, மேலே குறிப்பிடப்பட்டுள்ள வடிவவியல் பொருளானது யூக்ளிய வெளி என்ற சிறப்பு வகைத் திசையன் வெளியில் அமைவதால், ஒரு சிறப்பு வகைத் திசையன் என அறிந்து கொள்ளலாம்.

திசையன் வெளியிலோ அல்லது வேறு இடங்களிலோ வரையறுக்கப்படும் திசையன்களிலிருந்து இதனை வேறுபடுத்திக் காட்டவேண்டிய சந்தர்ப்பங்களில் இத்திசையன் வடிவவியல் திசையன் அல்லது இடத்திசையன் அல்லது யூக்ளிடிய திசையன் என அழைக்கப்படுகிறது.

யூக்ளிடிய வெளியில் ஓர் அம்பால் குறிக்கப்படும் திசையன், குறிப்பிட்ட ஆரம்பப்புள்ளியும் இறுதிப்புள்ளியும் கொண்டது. இத்தகைய திசையன் வரம்பு திசையன் (bound vector) எனப்படும். திசையனின் அளவும் திசையும் மட்டுமே கருத்தில் கொள்ளப்படும்போது அதன் ஆரம்பப் புள்ளி முக்கியமானது இல்லை. இத்தகைய திசையன் கட்டற்ற திசையன் (free vector) எனப்படும். எனவே   மற்றும்   அம்புகள் இரண்டின் அளவுகளும் திசைகளும் சமமாக இருந்தால் அவை இரண்டும் ஒரே திசையனைக் குறிக்கும். அப்பொழுது நாற்கரம் ABB′A′ ஒரு இணைகரமாக அமையும். யூக்ளிடிய வெளியில் ஓர் ஆதிப் புள்ளி எடுத்துக் கொண்டால், ஒரு கட்டற்ற திசையனும் அதே அளவும் திசையும் கொண்டு, ஆதிப்புள்ளியை ஆரம்பப் புள்ளியாகக் கொண்ட வரம்பு திசையனும் சமானமானவையாக அமையும்.

திசையன்கள் உயர்பரிமாணங்களுக்கும் பொதுமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன.

குறித்தல்தொகு

திசையன்கள் பொதுவாக தடித்த அல்லது தடித்துச் சாய்ந்த சிறிய ஆங்கில எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு:

a அல்லது a.

திசையன்களைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படும் பிற குறியீடுகள் (முக்கியமாக கையால் எழுதும்போது):

  அல்லது a.

புள்ளி A -லிருந்து புள்ளி B -க்கான திசையிடப்பட்ட தூரத்தையோ அல்லது இடப்பெயர்ச்சியையோ குறிக்கும் திசையன்   அல்லது AB ஆகும். (படத்தைப் பார்க்கவும்.)

  • வரைபடங்கள் அல்லது பிற படங்களில் திசையன்கள் வழக்கமாக, படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது போல அம்புகளால் (திசையிடப்பட்ட கோட்டுத்துண்டுகள்) குறிக்கப்படுகின்றன. இங்கு புள்ளி A -ஆதிப்புள்ளி, அடிமானம், வால் அல்லது ஆரம்பப் புள்ளி எனவும் புள்ளி B -தலை, முனை, இறுதிப்புள்ளி அல்லது முடிவுப் புள்ளி எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன. அம்பின் நீளம் திசையனின் அளவின் விகிதத்திலும் அம்பு காட்டும் திசை, திசையனின் திசையைக் குறிப்பதாகவும் அமைகின்றன.
  • இருபரிமாணப் படங்களில் தளத்திற்குச் செங்குத்தான திசையன் தேவைப்படுகிறது. இச்செங்குத்து திசையன்கள் பொதுவாக சிறிய வட்டங்களாகக் குறிக்கப்படுகின்றன. தனது மையத்தில் ஒரு சிறிய புள்ளியைக் கொண்ட வட்டக் குறியீடு (Unicode U+2299 ⊙) படத்தின் முன்புறத்திலிருந்து வெளிப்புறமாக அதாவது பார்ப்பவரை நோக்கியவாறு அமையும் செங்குத்துத் திசையனையும், தனக்குள் ஒரு குறுக்கு அடையாளத்தைக் கொண்ட வட்டக் குறியீடு (Unicode U+2297 ⊗) படத்திற்கு உட்புறமாக அதன் பின்புறம் நோக்கியவாறு அமையும் செங்குத்துத் திசையனையும் குறிக்கின்றன.
 
கார்ட்டீசியன் தளத்தில் (2,3) ஆய அச்சுதூரங்கள் கொண்ட புள்ளி A -ன் நிலையைக் குறிக்கும் திசையன்.
  • திசையன்களை வரைபடம் மூலமாகக் குறிக்கும் முறையில், அவற்றினைக் கொண்டு கணக்கீடுகள் செய்வதற்கு வசதியானதாக இருப்பதில்லை. எனவே n-பரிமாண யூக்ளிடின் வெளியில் அமையும் திசையன்கள், கார்ட்டீசியன் ஆய முறைமையில் அமைந்த ஆய திசையன்களாகக் (coordinate vectors) குறிக்கப்படுகின்றன.
இம்முறையில் ஒரு திசையனின் இறுதிப் புள்ளி, n மெய்யெண்கள் கொண்ட வரிசைப்பட்டியலாகக் குறிக்கப்படுகிறது. இந்த n மெய்யெண்களும் எடுத்துக் கொள்ளப்பட்ட கார்டீசியன் ஆயமுறைமைப்படி, இறுதிப்புள்ளியின் ஆயஅச்சுதூரங்களாகும். இம்மெய்யெண்கள், அந்த திசையனின் ஆய அச்சுகளின் திசையில் அமையும் திசையிலிக் கூறுகள் என அழைக்கப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு:

இருபரிமாணத்தில், ஆதிப்புள்ளி O = (0,0) -லிருந்து புள்ளி A = (2,3) -க்கு அமையும் திசையன் (படத்தைப் பார்க்கவும்):

 

முப்பரிமாண யூக்ளிடின் தளத்தில் (அல்லது  ), திசையன்கள் மூன்று திசையிலிக் கூறுகளுடன் குறிக்கப்படுகின்றன:

 
  எனவும் எழுதலாம்.

இந்த எண்கள் பெரும்பாலும் நிரல் திசையனாகவோ (column vector) அல்லது நிரை திசையனாகவோ (row vector) தரப்படுகின்றன:

 
 
  • n-பரிமாண திசையன்களைக் குறிக்கும் மற்றொரு முறை, ஒரு திட்டமான திசையன் அடுக்களத்தைப் பயன்படுத்தி அமைகிறது.

எடுத்துக்காட்டு (முப்பரிமாணத்தில்):

திசையன் அடுக்களம்:

 

இவை கார்ட்டீசியன் ஆய முறைமையின் x, y, மற்றும் z மூன்று ஆய அச்சுகளில் அமையும் அலகுத் திசையன்களாகக் கொள்ளப்படுகின்றன.

இவற்றின் மூலமாக   -ல் அமையும் ஒரு திசையன் a, பின்வருமாறு தரப்படுகிறது:

 

அல்லது

 

இங்கு a1, a2, a3 -மூன்றும் a திசையனின் அடுக்களத் திசையன்களின் திசைகளில் (x, y, மற்றும் z அச்சுகளின் திசைகள்) அமைந்த திசையன் கூறுகள். இதேபோல் a1, a2, a3 -மூன்றும் a திசையனின் அடுக்களத் திசையன்களின் திசைகளில் (x, y, மற்றும் z அச்சுகளின் திசைகள்) அமைந்த திசையலிக் கூறுகள்.

ஆரம்ப நிலை இயற்பியல் பாடப்புத்தகங்களில் திட்ட அடுக்களத் திசையன்கள்,   ( ) எனக் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளன. இங்கு ^ குறியீடு அலகுத்திசையன்களைக் குறிக்கிறது. ax, ay, az-மூன்றும் திசையிலிக் கூறுகள்; ax, ay, az -மூன்றும் திசையன் கூறுகள்.

 

அடிப்படைப் பண்புகள்தொகு

இப்பிரிவில் பின்வரும் அடுக்களத் திசையன்களைக் கொண்ட கார்ட்டீசியன் ஆயமுறைமைப் பயன்படுத்தப்படுகிறது:

 

அனைத்துத் திசையன்களும் ஒரு பொதுப் புள்ளியை ஆதிப்புள்ளியாகக் கொண்டுள்ளதாகக் கொள்ளப்படுகின்றன. மேலும் ஒரு திசையன் a :

 

சமத்தன்மைதொகு

இரு திசையன்களின் அளவுகளும் திசைகளும் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே அவ்விரண்டு திசையன்களும் சமமானவையாகும்.

 
  ஆகிய இரு திசையன்களும் சமமாக இருக்க வேண்டும் எனில்:
  ஆக இருக்க வேண்டும்.

கூட்டலும் கழித்தலும்தொகு

a மற்றும் b -இரு சமமில்லா திசையன்கள் என்க. a மற்றும் b -ன் கூட்டல்:

 

இக்கூட்டலை வரைபட மூலமாகவும் தரலாம். b -திசையனின் அம்பின் ஆரம்பப் புள்ளியை a -திசையனின் அம்பின் இறுதிப்புள்ளியுடன் அமையுமாறு வரைந்து கொண்டு பின், a அம்பின் ஆரம்பப் புள்ளியை b -ன் இறுதிப்புள்ளியுடன் இணைத்து ஒரு புதிய அம்பு வரைந்தால் அது a + b -திசையனைக் குறிக்கும்:

திசையன் கூட்டல் முறை இணைகர விதி என அழைக்கப்படுகிறது. a மற்றும் b இரண்டும் ஒரு இணைகரத்தின் அடுத்துள்ள பக்கங்களாகக் கொண்டால் அந்த இணைகரத்தின் ஒரு மூலைவிட்டமாக a + b -திசையன் அமையும். a , b இரண்டும் பொது ஆரம்பப் புள்ளி கொண்ட இரு வரம்பு திசையன்கள் எனில் a + b -திசையனின் ஆரம்பப்புள்ளியும் அதே பொதுப்புள்ளியாக அமையும்.

a + b = b + a (பரிமாற்றுப் பண்பு)

(a + b) + c = a + (b + c). (சேர்ப்புப் பண்பு)

a மற்றும் b -ன் வித்தியாசம்தொகு

 

வரைபடம் மூலமாக கழித்தலைப் பின்வருமாறு காணலாம்: a மற்றும் b -இரு திசையன்களின் இறுதிப்புள்ளிகளும் ஒன்றாக இருக்கும்படி அதன் அம்புகளை வரைந்து கொண்டு, a -ன் ஆரம்பப் புள்ளியிலிருந்து b -திசையனின் ஆரம்பப் புள்ளியோடு இணைத்து வரையப்படும் அம்பு, ab -திசையனைக் குறிக்கும்:

திசையிலிப் பெருக்கல்தொகு

 
ஒரு திசையனை 3 ஆல் திசையிலிப் பெருக்கல் செய்வதால் அத்திசையன் 3 மடங்கு நீட்டிக்கப்படுகிறது.
 
a எனும் திசையனின் திசையிலிப் பெருக்கல் 2a மற்றும் −a

ஒரு திசையனை ஒரு திசையிலியால் பெருக்குவது திசையிலிப் பெருக்கல் (scalar multiplication) எனப்படும். இச்செயலின் விளைவாகக் கிடைக்கும் முடிவு ஒரு திசையனாக இருக்கும்:

  -திசையனை r -எனும் திசையிலியால் பெருக்கக் கிடைக்கும் திசையன்:

 
  • திசையிலி r -ஆல் பெருக்கப்படுவதால் a -திசையன், r மடங்கு நீட்டிக்கப்படுகிறது.
  • r -நேர்ம எண்ணாக இருந்தால்   -ன் அளவு a -ன் அளவைப் போல r மடங்காகவும்; திசை a -ன் திசையாகவும் அமையும்.
  • r -எதிர்ம எண்ணாக இருந்தால்   -ன் அளவு a -ன் அளவைப் போல r மடங்காகவும்; திசை a -ன் திசைக்கு எதிர்த் திசையாகவும் அமையும்.

r = −1 மற்றும் r = 2 என்பதற்கான திசையிலிப் பெருக்கலின் விளக்கம் படத்தில் தரப்பட்டுள்ளது.

திசையிலிப் பெருக்கல் திசையன்களின் கூட்டலின் மீதான பங்கீட்டுப் பண்புடையது:

  • r(a + b) = ra + rb
  • ab = a + (−1)b.

நீளம்தொகு

ஒரு திசையன் a -ன் நீளம் (length) அல்லது அளவு (magnitude) அல்லது நெறிமம் (norm) என்பதன் குறியீடு:

||a||.

சில சமயங்களில் இது |a| எனவும் குறிக்கப்படுகிறது. ஆனால் இதனை ஒரு திசையிலியின் தனிமதிப்பு எனத் தவறுதலாக எடுத்துக் கொள்ளக் கூடாது.

a -திசையனின் நீளம்:

 

அடுக்களத் திசையன்கள் e1, e2, e3 மூன்றும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து அலகுத் திசையன்களாக அமைவதால் நீளம் காணும் இவ்வாய்ப்பாடு பித்தாகரசு தேற்றத்தின் மூலம் காணப்படுகிறது.

ஒரு திசையனின் அதே திசையனோடு காணப்படும் புள்ளிப் பெருக்கத்தின் வர்க்கமூலமாக இம்மதிப்பு அமையும்:

 

அலகுத் திசையன்தொகு

 
a திசையனை அலகுத் திசையன் â --ஆக நெறிமப்படுத்தல்

எந்தவொரு திசையனின் நீளமும் ஒரு அலகாக இருந்தால் அத்திசையன் அலகுத் திசையன் எனப்படும். வழக்கமாக அலகுத் திசையன்கள், திசைகளை மட்டும் குறிப்பதற்குப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

பெரும்பாலும் â -ல் உள்ளதுபோல ஒரு அலகுத் திசையன் தொப்பிக் குறியீட்டுடன் எழுதப்படுகிறது.

நெறிமப்படுத்தல்தொகு

ஏதேனும் ஒரு திசையனை அதன் நீளத்தால் வகுக்க அதன் அலகுத் திசையன் கிடைக்கும். இச்செயல் நெறிமப்படுத்தல் (normalaisation) எனப்படுகிறது.

a = [a1, a2, a3]திசையனை நெறிமப்படுத்தல்:

 

பூச்சியத் திசையன்தொகு

ஒரு திசையனின் நீளம் பூச்சியம் எனில் அத்திசையன் பூச்சியத் திசையன் (zero vector அல்லது null vector) எனப்படும். பூச்சியத் திசையனின் ஆய அச்சுத்தூர வடிவம்: (0,0,0). இதன் குறியீடு:  , அல்லது 0 அல்லது 0. மற்ற எந்தவொரு திசையனையும் போலல்லாது பூச்சியத் திசையனின் திசை தீர்மானிக்க முடியாததும் குறிப்பிட்டுச் சொல்ல முடியாததுமாக இருக்கும். மேலும் பூச்சியத் திசையனை நெறிமப்படுத்தல் இயலாது.

பூச்சியத் திசையனை எந்தவொரு திசையன் a -உடன் கூட்டக் கிடைப்பது a ஆகும்.

0+a=a.

அதாவது திசையன் கூட்டலின் முற்றொருமை உறுப்பாகப் பூச்சியத் திசையன் அமைகிறது.

புள்ளிப் பெருக்கம்தொகு

a மற்றும் b ஆகிய இரு திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்கம் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

 

இங்கு θ என்பது a , b -களுக்கு இடையேயுள்ள கோண அளவு.

 
  எனில்:

புள்ளிப் பெருக்கத்தின் வரையறை:

 

குறுக்குப் பெருக்கம்தொகு

 
குறுக்குப் பெருக்கத்தின் விளக்கம்

இரு திசையன்களின் குறுக்குப் பெருக்கம் இருபரிமாணம் மற்றும் எழுபரிமாணத்தில் மட்டுமே பொருளுடையது. இரு திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்கத்தின் முடிவு ஒரு திசையிலி என்றால் அவற்றின் குறுக்குப் பெருக்கத்தைன் முடிவு ஒரு திசையனாகும். இதனால் தான் முன்னது திசையிலிப் பெருக்கம் என்றும் பின்னது திசையன் பெருக்கம் எனவும் மாற்றுப் பெயர் கொண்டுள்ளன.

a , b -திசையன்களின் குறுக்குப் பெருக்கத்தின் வரையறை:

 

இங்கு θ என்பது a , b திசையன்களுக்கு இடையேயுள்ள கோண அளவு; a , b ஆகிய இரு திசையன்களுக்கும் வலக்கை அமைப்பின்படியுள்ள செங்குத்துத் திசையில் அமையும் அலகுத் திசையன் n . a , b ஆகிய இரு திசையன்களுக்கும் செங்குத்துத் திசையில் அமையும் அலகுத் திசையன்கள் n மற்றும் (–n) என இரண்டு உள்ளதால் வலக்கை அமைப்பின் படி எடுக்க வேண்டிய அவசியம் எழுகிறது.

a × b -ன் அளவு, a மற்றும் b -திசையன்களை அடுத்துள்ள பக்கங்களாகக் கொண்ட இணைகரத்தின் பரப்பாக அமையும்.

 

  எனில் அவற்றின் குறுக்குப் பெருக்கம்:

 

திசையிலி முப்பெருக்கம்தொகு

திசையிலி முப்பெருக்கம் என்பது மூன்று திசையன்களுக்கு, புள்ளிப் பெருக்கம் மற்றும் குறுக்குப் பெருக்கத்தைச் செயல்படுத்துவதாகும். இப்பெருக்கம் பெட்டிப் பெருக்கம், கலப்புப் பெருக்கம் எனவும் அழைக்கப்படுகிறது. a , b, c -ஆகிய மூன்று திசையன்களின் திசையிலிப் பெருக்கத்தின் வரையறை:

 

இப்பெருக்கத்திற்கு மூன்று பயன்பாடுகள் உள்ளன.

  • திசையிலி முப்பெருக்கத்தில் உள்ள மூன்று திசையன்களை ஒரு முனை விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத்திண்மத்தின் கனஅளவாக இம்முப்பெருக்கத்தின் அளவு அமையும்.
  • மூன்று திசையன்களும் நேரியல் சார்புடையதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அவற்றின் திசையிலி முப்பெருக்கம் பூச்சியமாகும். இதனை எளிதாக நிறுவலாம்.
  • இம்மூன்று திசையன்களின் திசையிலி முப்பெருக்கம் பூச்சியமாக இருந்தால் அவற்றைக் கொண்டு ஒரு இணைகரத்திண்மத்தை வரையறுக்க முடியாது. அதாவது இம்மூன்றும் ஒரே தளத்தில் அமையும். அப்பொழுது அவை மூன்றும் நேரியல் சார்புடையதாக இருக்கும்.
  • a, b மற்றும் c மூன்றும் வலக்கை அமைப்பில் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அவற்றின் திசையிலி முப்பெருக்கத்தின் மதிப்பு நேர்மமாக இருக்கும்.
  •  

 

  எனில்:

 
  • மேலும்
 

குறிப்புகள்தொகு

  1. Ivanov 2001
  2. Heinbockel 2001
  3. Ito 1993, p. 1678; Pedoe 1988
  4. Latin: vectus, perfect participle of vehere, "to carry"/ veho = "I carry". For historical development of the word vector, see "vector n.". Oxford English Dictionary. Oxford University Press. 2nd ed. 1989. and Jeff Miller. "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics". பார்த்த நாள் 2007-05-25..
  5. Ito 1993, p. 1678

மேற்கோள்கள்தொகு

Mathematical treatments

  • Apostol, T. (1967). Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra. John Wiley and Sons. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0471000051. 
  • Apostol, T. (1969). Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications. John Wiley and Sons. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0471000075. 
  • Kane, Thomas R.; Levinson, David A. (1996), Dynamics Online, Sunnyvale, California: OnLine Dynamics, Inc.
  • Heinbockel, J. H. (2001), Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics, Trafford Publishing, ISBN 1553691334
  • Ito, Kiyosi (1993), Encyclopedic Dictionary of Mathematics (2nd ed.), MIT Press, ISBN 978-0-262-59020-4
  • Ivanov, A.B. (2001), "Vector, geometric", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
  • Pedoe, D. (1988). Geometry: A comprehensive course. Dover. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-486-65812-0. .

Physical treatments

வெளி இணைப்புகள்தொகு

"https://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=திசையன்&oldid=2223067" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது