பகாத்தனி-எண்ணும் சார்பு

கணிதத்தில் பகாத்தனி-எண்ணும் சார்பு (prime-counting function) என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட மெய்யெண் x -க்குச் சமமான அல்லது அதைவிடச் சிறிய பகாத்தனிகளின் எண்ணிக்கையைத் தரும் சார்பு. இச் சார்பின் குறியீடு $\scriptstyle \pi (x)$ (இது எண் π அல்ல).

முதல் 60 முழு எண்களுக்கான π(n) இன் மதிப்புகள்

வரலாறு

எண் கோட்பாட்டில் பகாத்தனி எண்ணும் சார்பு குறித்த ஆய்வுகள் அதிவேகத்தில் வளர்ந்துள்ளது. 18ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் கணிதவியலாளர் காஸ் இதனை நிறுவக்கூடிய கூற்றாக (conjecture) அளித்தார். பின்னர் கணிதவியலாளர் லெஜெண்டரே (Adrien-Marie Legendre) இதனைப் பின்வருமாறு தோராயப்படுத்தினார்:

$x/\operatorname {ln} (x)\!$

அதாவது,

$\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\operatorname {ln} (x)}}=1.\!$

இது பகா எண் தேற்றத்தின் கூற்றாகும். இதனை கீழுள்ளவாறும் எழுதலாம்:

$\lim _{x\rightarrow \infty }\pi (x)/\operatorname {li} (x)=1\!$

இதில் li என்பது மடக்கைத் தொகையீட்டைக் குறிக்கும். இச்சார்பினைக் கணிக்கும் மேம்பட்ட துல்லியமான முறைகள் கண்டறியப்பட்டுள்ளன.

அட்டவணை

பத்தின் அடுக்குகளில் π(x), x / ln x மற்றும் li(x) சார்புகளுக்கான ஒப்பீட்டை கீழுள்ள அட்டவணை காட்டுகிறது. மேலும் பார்க்க,

x	π(x)	π(x) − x / ln x	li(x) − π(x)	x / π(x)
10	4	−0.3	2.2	2.500
102	25	3.3	5.1	4.000
103	168	23	10	5.952
104	1,229	143	17	8.137
105	9,592	906	38	10.425
106	78,498	6,116	130	12.740
107	664,579	44,158	339	15.047
108	5,761,455	332,774	754	17.357
109	50,847,534	2,592,592	1,701	19.667
1010	455,052,511	20,758,029	3,104	21.975
1011	4,118,054,813	169,923,159	11,588	24.283
1012	37,607,912,018	1,416,705,193	38,263	26.590
1013	346,065,536,839	11,992,858,452	108,971	28.896
1014	3,204,941,750,802	102,838,308,636	314,890	31.202
1015	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1,052,619	33.507
1016	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	3,214,632	35.812
1017	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,281	7,956,589	38.116
1018	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	21,949,555	40.420
1019	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,960	99,877,775	42.725
1020	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,701	222,744,644	45.028
1021	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	597,394,254	47.332
1022	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1,932,355,208	49.636
1023	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	7,250,186,216	51.939
1024	18,435,599,767,349,200,867,866	339,996,354,713,708,049,069	17,146,907,278	54.243
1025	176,846,309,399,143,769,411,680	3,128,516,637,843,038,351,228	55,160,980,939	56.546

x/ln x and Li(x) ஆகிய இரு சார்புகளுடனான π(x) இன் விகிதத்தைக் காட்டும் வரைபடம் x அதிகரிக்க, அதிகரிக்க, இரு விகிதங்களும் 1 ஐ நெருங்குகிறது. x/ln x உடனான விகிதம் மேலிருந்து மெதுவாக ஒருங்குகிறது; Li(x) உடனான விகிதம் கீழிருந்து வேகமாக ஒருங்குகிறது.

நேரிணைய எண்வரிசை கலைக்களஞ்சியத்தில்:

• π(x) : A006880
• π(x) - x / ln x : A057835
• li(x) − π(x) : A057752.

வெளி இணைப்புகள்

• Chris Caldwell, The Nth Prime Page at The Prime Pages.
• Implementation of Legendre, Meissel, and Lehmer methods in C
• Counting Primes by Quadratic Interval