பகாத்தனி தொடர்பெருக்கம்

எண் கோட்பாட்டில், பகாத்தனி தொடர்பெருக்கம் (primorial) என்பது தொடர்பெருக்கத்தைப் போன்றே இயல் எண்கள் கணத்திலிருந்து இயல் எண்கள் கணத்திற்கு வரையறுக்கப்படும் ஒரு சார்பு, ஆனால் தொடர்பெருக்கத்தில் நேர் முழு எண்கள் பெருக்கப்படுகின்றன; பகாத்தனி தொடர்பெருக்கத்தில் பகா எண்கள் பெருக்கப்படுகின்றன.

வரையறை

n வது பகாஎண் p_n இன் பகாத்தனி தொடர்பெருக்கம் p_n# என்பது முதல் n பகாஎண்களின் பெருக்கமாக வரையறுக்கப்படுகிறது:^[1]^[2]

p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k}

இங்கு p_k என்பது k -வது பகாஎண்.

எடுத்துக்காட்டாக:

p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.

முதல் ஆறு பகாத்தனி தொடர்பெருக்கங்கள்:

1, 2, 6, 30, 210, 2310.

(இதில் p₀# = 1 என வெற்றுப் பெருக்கமாகக் கொள்ளப்படுகிறது.)

பொதுவாக ஏதேனுமொரு இயல் எண்ணிற்குப் பகாத்தனி தொடர்பெருக்கம் கீழ்க்கண்டவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

ஒரு நேர் முழு எண் n இன் பகாத்தனி தொடர்பெருக்கம் n# என்பது n -ஐ விடச்சிறிய பகாஎண்களின் பெருக்கமாக வரையறுக்கப்படுகிறது:^[1]^[3]

n\#=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#

இங்கு, $\scriptstyle \pi (n)$ எனக் குறிக்கப்படும் பகாத்தனி-எண்ணும் சார்பு (OEIS-இல் வரிசை A000720) , n -ஐ விடச்சிறிய பகாஎண்களைத் தருகிறது.

இவ்வரையறை கீழுள்ள வரையறைக்கு ஈடானதாகும்:

n\#={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1\\n\times ((n-1)\#)&{\text{if }}n>1\ \And \ n{\text{ is prime}}\\(n-1)\#&{\text{if }}n>1\ \And \ n{\text{ is composite}}.\end{cases}}

எடுத்துக்காட்டாக, 12# என்பது 12க்கும் குறைந்த பகாஎண்களின் பெருக்குத் தொகையாகும்:

12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.

n	n#	p_n	p_n#
0	1	பகாஎண் இல்லை	1
1	1	2	2
2	2	3	6
3	6	5	30
4	6	7	210
5	30	11	2310
6	30	13	30030
7	210	17	510510
8	210	19	9699690
9	210	23	223092870
10	210	29	6469693230
11	2310	31	200560490130
12	2310	37	7420738134810
13	30030	41	304250263527210
14	30030	43	13082761331670030
15	30030	47	614889782588491410
16	30030	53	32589158477190044730
17	510510	59	1922760350154212639070
18	510510	61	117288381359406970983270
19	9699690	67	7858321551080267055879090
20	9699690	71	557940830126698960967415390

Harvey Dubner, "Factorial and primorial primes". J. Recr. Math., 19, 197–203, 1987.