பல்லுறுப்புத் தேற்றம்

கணிதத்தில் பல்லுறுப்புத் தேற்றம் (multinomial theorem) என்பது ஒரு கூட்டுத்தொகையின் அடுக்கினை அக்கூட்டுத்தொகையிலுள்ள உறுப்புகளின் அடுக்குகளின் மூலம் எவ்வாறு விரித்தெழுதலாம் என விளக்குகிறது. இத்தேற்றம் ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும்.

தேற்றம்தொகு

m ஒரு நேர்ம முழு எண்; n ஒரு எதிர்மமல்லா முழு எண் எனில்:

 

இதில்   ஒரு "பல்லுறுப்புக் கெழு" அல்லது "பல்லுறுப்புக் குணகம்" ஆகும். இந்த விரிவின் ஒவ்வொரு உறுப்பிலுமுள்ள xi இன் அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகை n ஆக இருக்கும். மேலும் ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைப் போலவே இத்தேற்றத்திலும் x0 என்ற வடிவிலுள்ளவற்றின் மதிப்பு 1 ஆக எடுத்துக்கொள்ளப்படும் (x = 0 ஆக இருந்தாலும் கூட).

m = 2 ஆக இருக்கும் போது பல்லுறுப்புத் தேற்றமானது ஈருறுப்புத் தேற்றமாகிவிடும்.

எடுத்துக்காட்டுதொகு

மூவுறுப்புக்கோவை a + b + c இன் மூன்றடுக்கின் விரிவு:

 
  இன் விரிவை கூட்டலின் மீதான பங்கீட்டுப் பண்பைப் பயன்படுத்திக் காணமுடியும். என்றாலும் பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி விரிவுபடுத்தல் எளிதாக இருக்கும். ஏனென்றால் இத்தேற்றத்தின்படி பல்லுறுப்புக் கெழுக்களைக் கணக்கிடல் எளிதானது. எடுத்துக்காட்டாக:
  இன் கெழு  
  இன் கெழு  

மாற்று வடிவம்தொகு

பல்லடுக்குகளைப் பயன்படுத்தி இத்தேற்றத்தின் கூற்றைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

 

இதில்,

 

மற்றும்

 

நிறுவல்தொகு

ஈருறுப்புத் தேற்றம் மற்றும் m மீதானக் கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையைப் பயன்படுத்தி பல்லுறுப்புத் தேற்றம் இங்கு நிறுவப்படுகிறது.

கணிதத் தொகுத்தலறிதல் முறையின் படிநிலைகள்:

  • படிநிலை 1
m = 1, எனில் பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தின் இருபுறமும் x1n என சமமாக உள்ளன.
  • படிநிலை 2

m இற்குப் பல்லுறுப்புத் தேற்றம் உண்மையெனக் கொண்டு m + 1 மதிப்பிற்கும் தேற்றம் உண்மையாகிறது என கீழே நிறுவப்படுகிறது:

 

வலப்புறமுள்ள கடைசி காரணியை ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி விரிக்க:

 
  என்பதால்
 

எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையின் இரண்டாம் படிநிலையும் நிறுவப்பட்டு பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தின் நிறுவல் நிறைவுறுகிறது.

பல்லுறுப்புக் கெழுக்கள்தொகு

பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தின் வலப்பக்க விரிவில் இடம்பெறும் உறுப்புக்களின் எண் கெழுக்கள் :  "பல்லுறுப்புக் கெழுக்கள்" அல்லது "பல்லுறுப்புக் குணகங்கள்" என அழைக்கப்படுகின்றன. இவற்றின் வாய்பாடு:

 

பல்லுறுப்புக் கெழுக்களின் கூட்டுத்தொகை: பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தின் விரிவிலுள்ள எல்லா உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல்:

 

விளக்கம்:

பல்லுறுப்புத் தேற்றம்:
 

இதில்   எனப் பதிலிட:

 

சேர்வியல் விளக்கம்:

பல்லுறுப்புக் கெழுக்களின் மதிப்பு வெவ்வேறான n பொருட்களை, வெவ்வேறான m பெட்டிகளில் போடும் வழிகளின் எண்ணிக்கைக்குச் சமமாகும். இதில், முதல் பெட்டியில் k1 பொருட்களும் இரண்டாவது பெட்டியில் k2 பொருட்களும் மூன்றாவது பெட்டியில் k3 பொருட்கள் என்று பொருட்கள் பெட்டிகளில் போடப்பட வேண்டும்[1]

மேற்கோள்கள்தொகு

  1. National Institute of Standards and Technology (May 11, 2010). "NIST Digital Library of Mathematical Functions". Section 26.4. August 30, 2010 அன்று பார்க்கப்பட்டது.