பெருக்கல் சராசரித் தேற்றம்

பெருக்கல் சராசரித் தேற்றம் (geometric mean theorem), ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் அதன் செம்பக்கத்திற்கு வரையப்பட்ட செங்குத்து உயரத்திற்கும், அந்தக் குத்துயரத்தால் செம்பக்கம் பிரிக்கப்படும் இரு கோட்டுத்துண்டுகளுக்கும் இடையேயுள்ள தொடர்பைத் தருகிறது. இத்தேற்றத்தின்படி செம்பக்கத்தின் அவ்விரு கோட்டுத்துண்டுகளின் பெருக்கல் சராசரியாக செங்குத்துயரம் இருக்கும். இத்தேற்றமானது, செங்கோண முக்கோணக் குத்துயரத் தேற்றம் (right triangle altitude theorem) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

தேற்றமும் பயன்பாடும்

சாம்பல்நிற சதுரத்தின் பரப்பளவு = சாம்பல்நிற செவ்வகத்தின் பரப்பளவு
$h^{2}=pq\Leftrightarrow h={\sqrt {pq}}$

தேற்றம்

செங்கோண முக்கோணத்தின் செங்குத்துயரம் h ; இந்த செங்குத்துயரமானது, செம்பக்கத்தைப் பிரிக்கும் இரு கோட்டுத்துண்டுகளின் நீளம் p , q எனில் தேற்றத்தின் கூற்று:

p , q இன் பெருக்கல் சராசரி h

$h={\sqrt {pq}}$

அல்லது பரப்பளவுகளாக:

$h^{2}=pq.$

அதாவது p , q அளவுகள் கொண்ட செவ்வகத்தின் பரப்பளவும் h அளவு பக்கநீளம் கொண்ட சதுரத்தின் பரப்பளவும் சமம்.

பயன்பாடு

தேற்ற முடிவின் இரண்டாவது வடிவைப் பயன்படுத்தி ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பளவுக்குச் சமமான பரப்பளவுடைய சதுரத்தை நேர்விளிம்பும் கவராயமும் கொண்டு வரையலாம்.

வரைதல்

• எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட செவ்வகத்தின் நீள அகலங்கள் முறையே p , q
• செவ்வகத்தின் இடது மேற்புற உச்சி D
• D ஐ மையமாகவும், p அலகு ஆரமுங்கொண்ட ஒரு வட்டவில் (AE) வரைய வேண்டும்.
• இவ்வட்டவில் q கோட்டுத்துண்டின் இடப்பற நீட்சியை A இல் சந்திக்கும்.
• AD இன் நீளம் p ஆக இருக்கும்.
• AB ஐ (p+q) விட்டமாகக் கொண்டு ஒரு அரைவட்டம் வரைய வேண்டும்.
• இந்த அரைவட்டத்தின் விட்டத்திற்கு (AB) D இல் ஒரு செங்குத்துக்கோடு வரைய வேண்டும்.
• இச்செங்குத்துக்கோடு வட்டத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளி C.
• தேலேசுத் தேற்றப்படி, அரைவட்டத்தின் விட்டம் C இல் ஒரு செங்கோணத்தை உருவாக்கும்.
• ADC ஒரு செங்கோண முக்கோணம்.
• செங்கோண முக்கோணத்தின் செங்குத்துயரம் DC .
• DC ஐப் பக்கமாகக் கொண்டு ஒரு சதுரம் வரைய அதன் பரப்பளவு எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட செவ்வகத்தின் பரப்பளவுக்குச் சமமாக இருக்கும்.

தேற்றத்தின் மறுதலையும் உண்மையாகும்:

ஒரு முக்கோணத்தின் ஏதேனுமொரு பக்கத்தின் செங்குத்துயரமானது, அச்செங்குத்துயரத்தால் பிரிக்கப்படும் அப்பக்கத்தின் இரு கோட்டுத்துண்டுகளின் நீளங்களின் சராசரிக்குச் சமமாக இருந்தால், எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட முக்கோணம் ஒரு செங்கோண முக்கோணம் ஆகும்.

இத்தேற்றம் யூக்ளிடின் (சுமார் கிமு. 360–280) கண்டுபிடிப்பாகக் கருதப்படுகிறது. யூக்ளிடின் புத்தகத்தில் இத்தேற்றம் இடம்பெற்றுள்ளது (கூற்று 8-பகுதி VI; கூற்று 14-புத்தகம் II யூக்ளிடின் எலிமெண்ட்சு).

தேற்றத்தின் நிறுவல்

வடிவொப்புமை மூலம் நிறுவல்

தரப்பட்டது

$\triangle ABC$ ஒரு செங்கோண முக்கோணம் : $\angle C=90^{\circ }$ செம்பக்கம் AB இன் குத்துயரம் h; இந்த செங்குத்துயரத்தால் பிரிக்க்கப்படும் பக்கம் AB இன் இரு கோட்டுத்துண்டுகளின் நீளங்கள் p q .

நிறுவவேண்டியது

$h^{2}=pq$

நிறுவல்

$\angle ADC=\angle CDB$

$\angle CAD=90^{\circ }-\angle DBC=\angle BCD$

$\triangle ADC,$ $\triangle BDC$ எனும் இரு முக்கோணங்களில் இருசோடி ஒத்த கோணங்கள் சமம். எனவே அவையிரண்டும் வடிவொத்த முக்கோணங்கள் ஆகும்.

$\triangle ADC\sim \triangle BDC$

வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்பின்படி அவற்றின் ஒத்தபக்கங்களின் விகிதங்கள் சமம்.

ஃ${\frac {h}{p}}={\frac {q}{h}}\,\Leftrightarrow \,h^{2}=pq\,\Leftrightarrow \,h={\sqrt {pq}}\qquad (h,p,q>0)$

மறுதலை

தரப்பட்டது

$\triangle ABC$ இன் பக்கம் AB இன் குத்துயரம் h; இந்த செங்குத்துயரத்தால் பிரிக்க்கப்படும் பக்கம் AB இன் இரு கோட்டுத்துண்டுகளின் நீளங்கள் p q ; $h^{2}=pq$

நிறுவ வேண்டியது

$\triangle ABC$ ஒரு செங்கோண முக்கோணம்.

நிறுவல்

$h^{2}=pq\Rightarrow {\tfrac {h}{p}}={\tfrac {q}{h}}$.

$\angle ADC=\angle CDB=90^{\circ }$

$\triangle ADC$ , $\triangle BDC$ ஆகிய இரு முக்கோணங்களில் ஒரு சோடிக் கோணவளவுகள் சமமாகவும் ஒத்தபக்கங்கள் விகிதசமத்திலும் உள்ளன. எனவே அவையிரண்டும் வடிவொத்த முக்கோணங்கள் ஆகும்.

ஃ $\triangle ADC\sim \triangle BDC$

வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்பின்படி, ஒத்த கோணங்கள் சமம்.

ஃ $\angle DAC=\angle DCB$

$\angle ACB=\angle ACD+\angle DCB$

$=\angle ACD+\angle DAC$

$=\angle ACD+(90^{\circ }-\angle ACD)=90^{\circ }$

வெட்டி, ஒட்டுவதன் மூலம் நிறுவல்

எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட செங்கோண முக்கோணத்தை அதன் செங்குயரத்தில் (h) இரு தனித்தனி முக்கோணங்களாக வெட்டிக்கொள்ள வேண்டும்.

அவ்வாறு கிடைக்கும் இரு முக்கோணங்களும் செங்கோண முக்கோணங்களாக இருக்கும்.

படத்திலுள்ளவாறு,

அவையிரண்டும் p+h , q+h நீளமுள்ள தாங்கு பக்கங்களைக் கொண்ட செங்கோண முக்கோணத்தை உருவாக்குமாறு இரு வெவ்வேறு விதங்களில் பொருத்தப்படுகின்றன.

தேவைப்படும் பெரிய செங்கோண முக்கோணம் முழுமைபெற ஒரு படத்தில் h பக்கமுள்ள சதுரம் தேவைப்படுவதையும், மற்றொன்றில் p , q அளவுகள் கொண்ட செவ்வகம் தேவைப்படுவதையும் காணலாம்.

இரண்டு படங்களுமே ஒரேயளவுள்ள செங்கோண முக்கோணத்தை உருவாக்குவதால் முழுமையாவதற்கு ஒன்றில் தேவைப்படும் சதுரத்தின் பரப்பளவும், மற்றொன்றில் தேவைப்படும் செவ்வகத்தின் பரப்பளவும் சமமாக இருக்கும். அதாவது,

h² = pq.

மேற்கோள்கள்

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images. MAA 2011, ISBN 9780883853528, pp. 31–32 (online copy, p. 31, கூகுள் புத்தகங்களில்)
• Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementary Geometry. AMS 2008, ISBN 9780821843475, p. 25 (online copy, p. 25, கூகுள் புத்தகங்களில்)
• Euclid: Elements, book II – prop. 14, book VI – prop. 8, (online copy)