மாறா நாண் தேற்றம்

மாறா நாண் தேற்றம் (constant chord theorem) என்பது இரு வெட்டிக்கொள்ளும் வட்டங்களின் சில நாண்களின் பண்புகளைப் பற்றிய அடிப்படை வடிவவியல் கூற்றாகும்.

மாறா நாணின் நீளம்: $|P_{1}Q_{1}|=|P_{2}Q_{2}|$

மாறா விட்டத்தின் நீளம்: $|P_{1}Q_{1}|=|P_{2}Q_{2}|$

தேற்றத்தின் கூற்று:

வட்டங்கள் $k_{1},$ $k_{2}$ இரண்டும் ஒன்றையொன்று வெட்டும் புள்ளிகள் $P,$ $Q$. $k_{1}$ வட்டத்தின் மீதமையும் ($P,$ $Q$ அல்லாத) ஏதாவது ஒரு புள்ளி $Z_{1}$. $Z_{1}P,$ $Z_{1}Q$ ஆகிய இரு கோடுகளும் $k_{2}$ வட்டத்தை $P_{1},$ $Q_{1}$ புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றன எனில் மாறா நாண் தேற்றத்தின்படி, $k_{2}$ வட்டத்தின் நாண் $P_{1}Q_{1}$ இன் நீளம், $k_{1}$ வட்டத்தின் மீது $Z_{1}$ அமைந்துள்ள இடஞ்சார்ந்தது அல்ல. அதாவது நாண் $P_{1}Q_{1}$ இன் நீளம் ஒரு மாறிலி.

$P$ அல்லது $Q$ புள்ளிகளோடு $Z_{1}$ புள்ளியானது ஒன்றுபட்டாலும், இத்தேற்றம் உண்மையாக இருக்கும். இந்நிலையில் வரையறுக்கப்படாத $Z_{1}P$ அல்லது $Z_{1}Q$ கோடுகளுக்குப் பதிலாக $k_{1}$ வட்டத்துக்கு $Z_{1}$ புள்ளியில் அமையும் தொடுகோடு எடுத்துக்கொள்ளப்படும்.

முப்பரிமாணத்தில் வெட்டிக்கொள்ளும் இரு கோளங்களுக்கான இதையொத்த தேற்றம் உள்ளது:

கோளங்கள் $k_{1},$ $k_{2}$ இரண்டும் வெட்டும் வட்டம் $k_{s}$. இந்த வட்டத்தின் மீதில்லாமல் ஆனால் $k_{1}$ கோளத்தின் மீதுள்ள ஏதாவது ஒரு புள்ளி $Z_{1}$. $k_{s}$, $Z_{1}$ இரண்டினால் உண்டாக்கப்படும் நீட்டிக்கப்பட்ட கூம்பு, இரண்டாவது கோளம் $k_{2}$ ஐ ஒரு வட்டத்தில் வெட்டும். இந்த வட்டத்தின் விட்டத்தின் நீளம் ஒரு மாறிலி. அதாவது விட்டத்தின் நீளம் $k_{1}$ கோளத்தின் மீது $Z_{1}$ புள்ளி அமைந்துள்ள இடத்தைச் சார்ந்திருக்காது.

1925 இல் மாறா நாண் தேற்றத்தை போலந்து-அமெரிக்க வடிவியலாளர் நாதன் ஆல்ட்சில்லர் கோர்ட்டு (Nathan Altshiller Court), பெல்ஜியக் கணித இதழில் வெளியிட்டார். பின்னர் எட்டு ஆண்டுகள் கழித்து இத்தேற்றத்தின் முப்பரிமாணக் கூற்றை அமெரிக்கக் கணித இதழில் வெளியிட்டார். பின்னர், இத்தேற்றம் பல பாடப்புத்தங்களில் இடம்பெற்றது.

மேற்கோள்கள்

• Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9783662530344, p. 16 (German)
• Roger B. Nelsen: Proof Without Words II. MAA, 2000, p. 29
• Ross Honsberger: Mathematical Morsels. MAA, 1979, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0883853030, pp. 126–127
• Nathan Altshiller Court: On Two Intersecting Spheres. The American Mathematical Monthly, Band 40, Nr. 5, 1933, pp. 265–269 (JSTOR)
• Nathan Altshiller-Court: sur deux cercles secants. Mathesis, Band 39, 1925, p. 453 (French)

வெளியிணைப்புகள்

விக்கிமீடியா பொதுவகத்தில்,
Constant chord theorem
என்பதில் ஊடகங்கள் உள்ளன.

• constant chord theorem as problem at cut-the-knot.org