முற்றிலும் குறைக்கவியலாமை

கணிதத்தில், விகிதமுறு எண்களின் மீதான பன்மாறி பல்லுறுப்புக்கோவையானது சிக்கலெண்களின் மீதும் குறைக்கவியலாததாக இருந்தால், அது முற்றிலும் குறைக்கவியலாதது (absolutely irreducible) எனப்படும்.^[1]^[2]^[3]

எடுத்துக்காட்டுகள்:

$x^{2}+y^{2}-1$ முற்றிலும் குறைக்கவியலாத பல்லுறுப்புக்கோவை. ஏனெனில், இதனை எவ்வகையிலும் முழுஎண்/விகிதமுறு எண்/மெய்யெண்/சிக்கலெண் கெழுக்கள் கொண்ட மற்றும் மாறிலியுறுப்புகள் மட்டுமே கொண்டிராத இரு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கற்பலனாகக் காரணிப்படுத்த முடியாது.
$x^{2}+y^{2}$ ஒரு முற்றிலும் குறைக்கவியலாப் பல்லுறுப்புக்கோவையல்ல.

x^{2}+y^{2}=(x+iy)(x-iy),

எனச் சிக்கலெண் கெழுக்கள் கொண்ட, மாறிலியுறுப்புகள் மட்டுமே கொண்டிராத இரு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கற்பலனாகக் காரணிப்படுத்த முடிவதால் இப்பல்லுறுப்புக்கோவையானது முற்றிலும் குறைக்கவியலாப் பல்லுறுப்புக்கோவை அல்ல.

அதாவது,

$x^{2}+y^{2}$ பல்லுறுப்புக்கோவையை முழுஎண் கெழுக்களைக்கொண்ட மாறிலியுறுப்புகள் மட்டுமே கொண்டிராத இரு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கற்பலனாகக் காரணிப்படுத்த முடியாது. எனவே இது முழு எண்களின் மீது குறைக்கவியலாதது.
$x^{2}+y^{2}$ பல்லுறுப்புக்கோவையை விகிதமுறு எண் கெழுக்களைக்கொண்ட மாறிலியுறுப்புகள் மட்டுமே கொண்டிராத இரு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கற்பலனாகக் காரணிப்படுத்த முடியாது. எனவே இது விகிதமுறு எண்களின் மீது குறைக்கவியலாதது
$x^{2}+y^{2}$ பல்லுறுப்புக்கோவையை மெய்யெண் கெழுக்களைக்கொண்ட மாறிலியுறுப்புகள் மட்டுமே கொண்டிராத இரு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கற்பலனாகக் காரணிப்படுத்த முடியாது. எனவே இது மெய்யெண்களின் மீது குறைக்கவியலாதது
ஆனால் $x^{2}+y^{2}$ பல்லுறுப்புக்கோவையை சிக்கலெண் கெழுக்களைக்கொண்ட மாறிலியுறுப்புகள் மட்டுமே கொண்டிராத இரு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கற்பலனாகக் காரணிப்படுத்த முடிகிறது. எனவே இது சிக்கலெண்களின் மீது குறைக்கக்கூடியதாக அமைகிறது. எனவே இப்பல்லுறுப்புக்கோவை முற்றிலுமாகக் குறைக்கவியலாத ஒன்றாகவுள்ளது.

பொதுவாக K என்ற களத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையானது, K இன் அனைத்து நீட்டிப்புக் களங்களிலும் குறைக்கவியலாததாக இருந்தால், அது முற்றிலும் குறைக்கவியலாப் பல்லுறுப்புக்கோவையாகும்,^[4]

K என்ற களத்திலமைந்த கெழுக்களைக் கொண்ட சமன்பாடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட கேண்முறை இயற்கணிதக் கணமானது, K இன் இயற்கணிதவகையில் மூடிய நீட்டிப்பிலுள்ள சமன்பாடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட இரு இயற்கணிதக் கணங்களின் சேர்ப்பாக இல்லையென்றால் அது 'முற்றிலும் குறைக்கவியலாதது' ஆகும். அதாவது 'முற்றிலுமாகக் குறைக்கவியலா இயற்கணிதக் கணம்' என்பது, வரையறுக்கும் சமன்பாடுகளின் கெழுக்கள் இயற்கணிதவகையில் மூடிய நீட்டிப்பில் இல்லாத்வையாக இருக்கக்கூடுமென்பதை வலியுறுத்தும் 'இயற்கணித வகை' என்ற கருத்துருவுடன் ஒத்தது.^[5]

எடுத்துக்காட்டுகள்

இயற்கணித அடிப்படைத் தேற்றத்தின்படி, 2 அல்லது இரண்டுக்கு மேற்பட்ட படிகொண்ட ஒருமாறியிலமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவை ஒருபோதும் முற்றிலும் குறைக்கவியலாததாக இருக்காது..
விகிதமுறு எண்களின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட 6 வரிசையுள்ள சமச்சீர் குலம் S₃ இன் குறைக்கவியலா இருபரிமாண உருவகிப்பானது முற்றிலும் குறைக்கவியலாததாக இருக்கும்.
தள சுழற்சிகளாலமையும் வட்டக்குலமானது மெய்யெண்கள் களத்தின் மீது குறைக்கவியலாதது. ஆனால் சிக்கலெண்களுக்கு நீட்டிப்புச்செய்தால், அது இரு குறைக்கவியலாக் கூறுகளாகப் பிரிவுபடுமாதலால், சிக்கலெண்கள் மீது குறைக்கவியலக்கூடியதாகி விடும். எனவே முற்றிலும் குறைக்கவியலாததாக அமைகிறது.
$x^{2}+y^{2}=1$ சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்படும் மெய்யெண் இயற்கணித வகை முற்றிலும் குறைக்கவியலாதது.^[3] இச்சமன்பாடு மெய்யெண்கள் மீதான சாதாரண வட்டத்தைக் குறிக்கும்; மேலும் சிக்கலெண்களத்தின் மீது குறைக்கவியலாக் கூம்பு வெட்டாக உள்ளது.
$x^{2}+y^{2}=0$ என்ற சமன்பாடு குறிக்கும் இயற்கணித வகையானது முற்றிலும் குறைக்கவியலாதது அல்ல; ஏனென்றால் அதனை $x^{2}+y^{2}=(x+yi)(x-yi),$ என்றவாறு காரணிப்படுத்தலாம்.

மேற்கோள்கள்

↑ Borevich, Z. I.; Shafarevich, I. R. (1986), Number theory, Pure and Applied Mathematics, vol. 20, Academic Press, p. 10, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780080873329.
↑ Grabmeier, Johannes; Kaltofen, Erich; Weispfenning, Volker (2003), Computer Algebra Handbook: Foundations, Applications, Systems, Springer, p. 26, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9783540654667.
↑ ^3.0 ^3.1 Tucker, Allen B. (2004), Computer Science Handbook (2nd ed.), CRC Press, pp. 8–17 – 8-18, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780203494455.
↑ Stepanov, Serguei A. (1994), Arithmetic of Algebraic Curves, Monographs in Contemporary Mathematics, Springer, p. 53, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780306110368.
↑ Niederreiter, Harald; Xing, Chaoping (2009), Algebraic Geometry in Coding Theory and Cryptography, Princeton University Press, p. 47, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9781400831302.

[1] Borevich, Z. I.; Shafarevich, I. R. (1986), Number theory, Pure and Applied Mathematics, vol. 20, Academic Press, p. 10, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780080873329.

[2] Grabmeier, Johannes; Kaltofen, Erich; Weispfenning, Volker (2003), Computer Algebra Handbook: Foundations, Applications, Systems, Springer, p. 26, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9783540654667.

[tucker-3] 3.0 ^3.1 Tucker, Allen B. (2004), Computer Science Handbook (2nd ed.), CRC Press, pp. 8–17 – 8-18, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780203494455.

[4] Stepanov, Serguei A. (1994), Arithmetic of Algebraic Curves, Monographs in Contemporary Mathematics, Springer, p. 53, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780306110368.

[5] Niederreiter, Harald; Xing, Chaoping (2009), Algebraic Geometry in Coding Theory and Cryptography, Princeton University Press, p. 47, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9781400831302.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]