பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி

கணிதத்தில், ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி (degree) என்பது அப் பல்லுறுப்புக்கோவையிலுள்ள உறுப்புகளின் படிகளிலேயே மிக உயர்ந்த படியாகும். பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒரு உறுப்பின் படி என்பது, அந்தக் குறிப்பிட்ட உறுப்பிலுள்ள மாறிகளின் அடுக்குகளின் கூடுதலாகும். பல்லுறுப்புக்கோவையின் படியைக் கணக்கிடும்போது, அக்கோவையானது நியமன வடிவில் (canonical form) இருக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு: $7x^{2}y^{3}+4x-9$ பல்லுறுப்புக்கோவையில் மூன்று உறுப்புகள் உள்ளன. (இக்கோவையை $7x^{2}y^{3}+4x^{1}y^{0}-9x^{0}y^{0}$ என்றும் எழுதலாம்)

முதல் உறுப்பு

7x^{2}y^{3}

இன் படி 5 (x மாறியின் அடுக்கு 2 + y மாறியின் அடுக்கு 3);

இரண்டாவது உறுப்பு

4x

இன் படி 1;

கடைசி உறுப்பு

-9

இன் படி 0.

இம் மூன்று படிகளில் மிகஉயர்ந்த படி 5 என்பதால், இப் பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி 5 ஆகும்.

பல்லுறுப்புக்க்கோவை நியமனவடிவில் தரப்படவில்லையெனில் முதலில் அதனை நியமனவடிவிற்கு மாற்றிக் கொண்ட பின்னரே அதன் படியைக் கணக்கிடல் வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு: $(x+1)^{2}-(x-1)^{2}$

இப்பல்லுறுப்புக்க்கோவை நியமனவடிவில் இல்லை. எனவே கோவையிலுள்ள வர்க்கங்களை விரித்துச் சுருக்கக் கிடைப்பது:

(x+1)^{2}-(x-1)^{2}=(x^{2}+2x+1)-(x^{2}-2x+1)=4x

இது ஓருறுப்புக்கோவையாக அமைகிறது; அந்த உறுப்பின் படி 1 என்பதால் தரப்பட்டப் பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி 1 ஆகும்.

எனினும், ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையானது நியமவடிவிலுள்ள இரு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கல் வடிவில் அமைந்திருக்குமானால் அதன் படி காண்பதற்கு, அதனை நியமவடிவிற்கு மாற்ற வேண்டிய அவசியமில்லை. காரணிகளின் பெருக்குத்தொகையின் படியானது அக்காரணிகளின் தனித்தனி படிகளின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும். அதனால் பல்லுறுப்புக்கோவையைத் தரப்பட்ட வடிவை மாற்றாமலேயே அதன் படியைக் கணக்கிடலாம்.

படியைப் பொறுத்துப் பல்லுறுப்புக்கோவையின் பெயர்கள்

பல்லுறுப்புக்க்கோவைகளுக்கு அவற்றின் படிகளைப் பொறுத்து சிறப்புப் பெயர்கள் வழங்கப்படுகின்றன:^[1]^[2]^[3]

சிறப்புவகை – பூச்சியப் பல்லுறுப்புக்கோவை
படி 0 – மாறிலி^[4]
படி 1 – நேரியல் பல்லுறுப்புக்கோவை
படி 2 – இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவை
படி 3 – முப்படி பல்லுறுப்புக்கோவை
படி 4 – நாற்படி பல்லுறுப்புக்கோவை
படி 5 – ஐம்படி பல்லுறுப்புக்கோவை
படி 6 – அறுபடி பல்லுறுப்புக்கோவை
படி 7 – எழுபடி பல்லுறுப்புக்கோவை

மேலும் சில உயர்படிப் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கும் பெயர்கள் உள்ளன.^[5] ஆனால் அவை அரிதாகவே பயன்படுத்தப்படுகின்றன:

படி 8 – எண்படிப் பல்லுறுப்புக்கோவை (octic)
படி 9 – ஒன்பான்படி பல்லுறுப்புக்கோவை (nonic)
படி 10 – பத்தாம்படி பல்லுறுப்புக்கோவை (decic)

சில எடுத்துக்காட்டுகள்

$3-5x+2x^{5}-7x^{9}$ -ஒன்பான்படி பல்லுறுப்புக்கோவை.
$(y-3)(2y+6)(-4y-21)$ - முப்படி பல்லுறுப்புக்கோவை
$(3z^{8}+z^{5}-4z^{2}+6)+(-3z^{8}+8z^{4}+2z^{3}+14z)$ -ஐம்படி பல்லுறுப்புக்கோவை ( $z^{8}$ நீக்கம் பெற்றுவிடுகிறது)

மேலேயுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் நியமன வடிவம்:

$3-5x+2x^{5}-7x^{9}=-7x^{9}+2x^{5}-5x+3$ ;
$(y-3)(2y+6)(-4y-21)=-8y^{3}-42y^{2}+72y+378$ ;
$(3z^{8}+z^{5}-4z^{2}+6)+(-3z^{8}+8z^{4}+2z^{3}+14z)=z^{5}+8z^{4}+2z^{3}-4z^{2}+14z+6$ .

கணிதச் செயல்களில்

P , Q இரு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் எனில்:

\deg(P+Q)\leq \max(\deg(P),\deg(Q))

\deg(P-Q)\leq \max(\deg(P),\deg(Q))

எடுத்துக்காட்டு:

(x^{3}+x)+(x^{2}+1)=x^{3}+x^{2}+x+1

இன் படி 3 {3 ≤ max(3, 2))

(x^{3}+x)-(x^{3}+x^{2})=-x^{2}+x

இன் படி 2. (2 ≤ max(3, 3))

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையைச் சுழியற்றத் திசையிலியால் பெருக்கக் கிடைக்கும் புது பல்லுறுப்புக்கோவையின் படியானது மூலப் பல்லுறுப்புக்கோவையின் படியாகவே இருக்கும்.

\deg(cP)=\deg(P)

(P ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை, c ஒரு சுழியற்ற திசையிலி)

எடுத்துக்காட்டு:

x^{2}+3x-2

இன் படி 2;

இப் பல்லுறுப்புக்கோவையை இரண்டால் பெருக்கக் கிடைக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவை:

2(x^{2}+3x-2)=2x^{2}+6x-4

இதன் படியும் 2 ஆகவே உள்ளதைக் காணலாம்.

$\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)$ .

எடுத்துக்காட்டு:

P=x^{3}+x

இன் படி 3;

Q=x^{2}+1

இன் படி 2;

(x^{3}+x)(x^{2}+1)=x^{5}+2x^{3}+x

இன் படி 5.

$\deg(P\circ Q)=\deg(P)\deg(Q)$ .

எடுத்துக்காட்டு:

P=(x^{3}+x)

இன் படி 3;

Q=(x^{2}+1)

இன் படி 2;

P\circ Q=P\circ (x^{2}+1)=(x^{2}+1)^{3}+(x^{2}+1)=x^{6}+3x^{4}+4x^{2}+2

இன் படி 6

குறிப்புகள்

↑ "Names of Polynomials". பார்க்கப்பட்ட நாள் 5 February 2012.
↑ Mac Lane and Birkhoff (1999) define "linear", "quadratic", "cubic", "quartic", and "quintic". (p. 107)
↑ King (2009) defines "quadratic", "cubic", "quartic", "quintic", "sextic", "septic", and "octic".
↑ Shafarevich (2003) says of a polynomial of degree zero, $f(x)=a_{0}$ : "Such a polynomial is called a constant because if we substitute different values of x in it, we always obtain the same value $a_{0}$ ." (p. 23)
↑ James Cockle proposed the names "sexic", "septic", "octic", "nonic", and "decic" in 1851. (Mechanics Magazine, Vol. LV, p. 171)

மேற்கோள்கள்

Axler, Sheldon (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer Science & Business Media
Childs, Lindsay N. (1995), A Concrete Introduction to Higher Algebra (2nd ed.), Springer Science & Business Media
Childs, Lindsay N. (2009), A Concrete Introduction to Higher Algebra (3rd ed.), Springer Science & Business Media
Grillet, Pierre Antoine (2007), Abstract Algebra (2nd ed.), Springer Science & Business Media
King, R. Bruce (2009), Beyond the Quartic Equation, Springer Science & Business Media
Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (3rd ed.), American Mathematical Society
Shafarevich, Igor R. (2003), Discourses on Algebra, Springer Science & Business Media

வெளி இணைப்புகள்

Polynomial Order; Wolfram MathWorld

[1] "Names of Polynomials". பார்க்கப்பட்ட நாள் 5 February 2012.

[2] Mac Lane and Birkhoff (1999) define "linear", "quadratic", "cubic", "quartic", and "quintic". (p. 107)

[3] King (2009) defines "quadratic", "cubic", "quartic", "quintic", "sextic", "septic", and "octic".

[4] Shafarevich (2003) says of a polynomial of degree zero, $f(x)=a_{0}$ : "Such a polynomial is called a constant because if we substitute different values of x in it, we always obtain the same value $a_{0}$ ." (p. 23)

[5] James Cockle proposed the names "sexic", "septic", "octic", "nonic", and "decic" in 1851. (Mechanics Magazine, Vol. LV, p. 171)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]