யூக்ளிடிய ஆட்களம்

கணிதத்தில், குறிப்பாக வளையக் கோட்பாட்டில், யூக்ளிடிய ஆட்களம் (Euclidean domain) என்பது, பொருத்தமான யூக்ளிடியச் சார்புடன் கூடிய முழு ஆட்களமாகும். யூக்ளிடிய சார்பானது பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட முழுவெண்களின் யூக்ளிடிய வகுத்தலை அனுமதிக்கும். முழுவெண்களில் சாதாரண யூக்ளிடியப் படிமுறைத் தீர்வைப் பயன்படுத்துவது போலவே இந்தப் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட யூக்ளிடிய படிமுறைத்தீர்வையும் முழுவெண் வளையங்களில் பயன்படுத்தலாம். எடுத்துக்காட்டாக, யூக்ளிடிய ஆட்களத்தின் ஏதாவது இரு உறுப்புகளின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியை யூக்ளிடியப் படிமுறைத்தீர்வைப் பயன்படுத்திக் காணலாம். இவ்வாறு மீப்பெரு பொதுவகுத்தியைக் காணமுடியும் என்பதோடு, அதனை அவ்விரு உறுப்புகளின் நேரியல் சேர்க்கையாகவும் எழுதலாம்.

மேலும் யூக்ளிடிய ஆட்களத்தின் ஒவ்வொரு சீர்மமும் முதன்மைச் சீர்மமாக இருக்கும். இந்த முதன்மைச் சீர்மப் பண்பிலிருந்து "ஒவ்வொரு யூக்ளிடிய ஆட்களமும் ஒரு [[தனித்துவ காரணிப்படுத்தல் ஆட்களம்" ஆக இருக்குமென்ற எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தல் கிடைக்கிறது.

யூக்ளிடிய ஆட்களமானது "யூக்ளிடிய வளையம்" என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை

$R$ ஒரு முழு ஆட்களம் எனில், $R$ இன் மீதான "யூக்ளிடிய சார்பு" ("யூசா" எனச் சுருக்கமாகக் கீழே தரப்படுகிறது) $f$ என்பது $R \ {0}$ இலிருந்து எதிரற்ற முழுவெண்களுக்கு வரையறுக்கப்படும் சார்பாகும். இச்சார்பு, அடிப்படைச்செயலான "மீதியுடன் கூடிய வகுத்தல்" பண்பை நிறைவு செய்யும் சார்பாக]] இருக்கும்:

(யூசா1): $a,$ $b$ இரண்டும் $R$ இன் உறுப்புகள்; $b$ பூச்சியமற்றது எனில்,

a = bq + r

மற்றும்

r = 0

அல்லது

f (r) < f (b)

என்ற முடிவுகளை நிறைவுசெய்யும்

q,

r

மதிப்புகள்

R

இல் இருக்கும்.

இதில், $q,$ $r$ இரண்டும் முறையே $a$ ஐ $b$ ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் ஈவும், மீதியும் ஆகும். முழு எண்கள், பல்லுறுப்புக்கோவைகளில் ஈவு தனித்துவமாக வரையறுக்கப்படுவதுபோல, இங்கு ஈவு தனித்துவமாக வரையறுக்கப்படுவதில்லை; ஆனால் ஒரு ஈவு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டுவிட்டால் அதற்குரிய "மீதி" தனித்துவமாக வரையறுக்கப்பட்டதாக இருக்கும்.

யூக்ளிடிய ஆட்களம், குறைந்தபட்சம் ஒரு யூக்ளிடிய சார்புடைய ஒரு முழு ஆட்களமென்றாலும் அது பல வெவ்வேறு யூக்ளிடிய சார்புகளையும் கொண்டிருக்கலாம்.

பெரும்பாலான இயற்கணித நூல்கள் யூக்ளிடிய சார்புக்கு பின்வரும் கூடுதல் பண்புகள் வேண்டுமெனக் கூறுகின்றன:

(யூசா2): $R$ இலுள்ள அனைத்து பூச்சியமற்ற $a,$ $b$ உறுப்புகளுக்கும் $f (a) \leq f (ab)$ .

யூக்ளிடிய ஆட்களத்தை வரையறுப்பதற்கு ஒரு யூக்ளிடிய சார்பு மட்டும் போதுமானதென்றாலும், $R$ என்ற முழு ஆட்களத்துக்கு (யூசா1) ஐ நிறைவுசெய்யும் சார்பு $g$ தரப்பட்டு, (யூசா1), (யூசா2) இரண்டையும் ஒருங்கே நிறைவுசெய்யும் மற்றொரு சார்பும் தரப்படலாம்:

R \ {0}

இன் உறுப்பு

a

எனில், புதுச்சார்பு

f (a)

பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:^[1]

f(a)=\min _{x\in R\setminus \{0\}}g(xa)

அதாவது,

a

ஆல் பிறப்பிக்கப்பட்ட முதன்மைச் சீர்மத்தின் பூச்சியமற்ற உறுப்புகளின் மீது

g

சார்பு பெறும் மதிப்புகளுக்குள் மீச்சிறுமதிப்பாக

f (a)

ஆனது வரையறுக்கப்படுகிறது.

$f (ab) = f (a) f (b)$ ஆகவும், $f (a)$ எப்பொழுதுமே பூச்சியமற்றதாகவும் இருந்தால் யூக்ளிடிய சார்பு $f$ "பெருக்கத்தக்கது" எனப்படும்.

இதிலிருந்து கிடைக்கக்கூடிய இரு முடிவுகள்:

$f (1) = 1$
$a$ ஆனது வளையத்தின் பெருக்கல் செயலைப் பொறுத்து நேர்மாற்றத்தக்கதாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" $f (a) = 1$ ஆக இருக்கும்..

பல ஆசிரியர்கள் "யூக்ளிடிய சார்பு" என்பதற்குப் பதில் "அடுக்கெண் சார்பு", "மதிப்பீட்டுச் சார்பு", "நெறிமச் சார்பு" போன்ற பிற சொற்களையும் பயன்படுத்துகின்றனர்.^[2] வேறு சிலர் யூக்ளிடிய சார்பின் ஆட்களமானது $R$ வளையம் முழுவதுமாக இருக்கவேண்டுமென்கின்றனர்.^[2] ஆனால் (EF1) ஆனது $f (0)$ இன் மதிப்பை எடுத்துக்கொள்ளாததால், மேலுள்ள நிபந்தனை யூக்ளிடிய சார்பின் வரையறையை முக்கியமாகப் பாதிக்காது.

எடுத்துக்காட்டுகள்

யூக்ளிடிய ஆட்களத்திற்குச் சில எடுத்துக்காட்டுகள்::

அனைத்து பூச்சியமற்ற $x$ -க்கு $f (x) = 1$ என வரையறுக்கப்பட்ட யூக்ளிடிய சார்புடன் கூடிய ஏதேனுமொரு களம்
$f (n) = | n |$ , the தனி மதிப்பு of ( $n$ இன் தனி மதிப்பு) என வரையறுக்கப்பட்ட யூக்ளிடிய சார்புடன் கூடிய முழுவெண்கள் வளையம் $Z$ .^[3]
$f (a + bi) = a 2 + b 2$ , ( $a 2 + b 2$ என்பது $a + bi$ என்ற காசிய முழுவெண்ணின் கள நெறிமம்) என வறையறுக்கப்பட்ட யூக்ளிடிய சார்புடன் கூடிய காசிய முழுவெண்களின் வளையம் $\mathbf {Z} [i]$ .
$f (a + b ω) = a 2 - ab + b 2$ , (ஐன்ஸ்டீன் முழுவெண் $a + b ω$ இன் நெறிமம்) என வரையறுக்கப்பட்ட யூக்ளிடிய சார்புடன் கூடிய ஐன்ஸ்டீன் முழுவெண்கள் வளையம் $Z [ω]$ (இங்கு $ω$ என்பது மெய்யெண்ணில்லாத ஒன்றின் படிமூலம்).
ஒவ்வொரு பூச்சியமற்ற பல்லுறுப்புக்கோவை $P$ -க்கும் $f (P)$ = $P இன் அடுக்கெண்$ என வரையறுக்கப்பட்ட யூக்ளிடிய சார்புடன் கூடிய பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வளையம் $K [X]$ .^[4]

குறிப்புகள்

↑ Rogers, Kenneth (1971), "The Axioms for Euclidean Domains", American Mathematical Monthly, 78 (10): 1127–8, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.2307/2316324, JSTOR 2316324, Zbl 0227.13007
↑ ^2.0 ^2.1 Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra. Wiley. p. 270. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780471433347.
↑ Fraleigh & Katz 1967, ப. 377, Example 1
↑ Fraleigh & Katz 1967, ப. 377, Example 2

மேற்கோள்கள்

Fraleigh, John B.; Katz, Victor J. (1967). A first course in abstract algebra (5th ed.). Addison-Wesley. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-201-53467-3.
Samuel, Pierre (1971). "About Euclidean rings". Journal of Algebra 19 (2): 282–301. doi:10.1016/0021-8693(71)90110-4. https://core.ac.uk/download/pdf/82126785.pdf. பார்த்த நாள்: 2023-02-06.

[1] Rogers, Kenneth (1971), "The Axioms for Euclidean Domains", American Mathematical Monthly, 78 (10): 1127–8, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.2307/2316324, JSTOR 2316324, Zbl 0227.13007

[DummitAlgebra-2] 2.0 ^2.1 Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra. Wiley. p. 270. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780471433347.

[3] Fraleigh & Katz 1967, ப. 377, Example 1

[4] Fraleigh & Katz 1967, ப. 377, Example 2

[1]

[2]

[3]

[4]