ரன்டே-குடா முறைகள் பட்டியல்

Runge-Kutta முறைமைகள் சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாட்டின் எண் தீர்வுக்கான முறைகள் ஆகும்

${\frac {dy}{dt}}=f(t,y)\,$

இது வடிவம் எடுக்கிறது

$y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i}\,$

$k_{1}=f(t_{n},y_{n}),$

$k_{2}=f(t_{n}+c_{2}h,y_{n}+h(a_{21}k_{1})),$

$k_{3}=f(t_{n}+c_{3}h,y_{n}+h(a_{31}k_{1}+a_{32}k_{2})),$

$\vdots$

$k_{i}=f\left(t_{n}+c_{i}h,y_{n}+h\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}k_{j}\right),$

இந்தப் பக்கத்தில் பட்டியலிடப்பட்ட ஒவ்வொரு முறையும் அதன் புத்செர் tableau மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது, இது ஒரு அட்டவணையில் உள்ள வழிமுறையின் குணகங்களை பின்வருமாறு வைக்கிறது:

${\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\\end{array}}$

வெளிப்படையான முறைகள்

வெளிப்படையான முறைகள், [a_ {ij}] குறைந்த முக்கோணமாகும்.

முன்னோக்கு ஆய்லர்

யூலரின் முறை முதல் வரிசையாகும். உறுதியான தன்மை மற்றும் துல்லியம் ஆகியவற்றின் பற்றாக்குறை முக்கியமாக ஒரு எண் தீர்வு முறையின் ஒரு எளிய அறிமுகமான உதாரணமாக பயன்படுத்தப்படுவதைக் குறிக்கிறது.

${\begin{array}{c|c}0&0\\\hline &1\\\end{array}}$

வெளிப்படையான இடர்ப்பாட்டு முறை

(வெளிப்படையான) இடைநிலை முறை இரண்டு நிலைகளுடன் இரண்டாம் வரிசை முறையாகும் (கீழே உள்ள உள்ளீடான இடைப்பட்ட வழிமுறையும் பார்க்கவும்):

${\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1/2&1/2&0\\\hline &0&1\\\end{array}}$

ஹியூன் முறை

ஹியூன் முறையானது இரண்டு கட்டங்களுடன் இரண்டாவது வரிசை முறையாகும் (இது வெளிப்படையான பாரியளவிலான விதி என்றும் அழைக்கப்படுகிறது):

${\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}$

ரால்ஸ்டனின் முறை

ரால்ஸ்டனின் முறையானது இரண்டு கட்டங்களாக இரண்டாவது வரிசை முறையாகும், மேலும் குறைந்தபட்சமான உள்ளூர் பிழை உள்ளது:

${\begin{array}{c|cc}0&0&0\\2/3&2/3&0\\\hline &1/4&3/4\\\end{array}}$

பொதுவான இரண்டாவது வரிசை முறை

${\begin{array}{c|ccc}0&0&0\\x&x&0\\\hline &1-{\frac {1}{2x}}&{\frac {1}{2x}}\\\end{array}}$

கூட்டாவின் மூன்றாவது ஆணை முறை

${\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&1/2&0&0\\1&-1&2&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}$

கிளாசிக் நான்காண்டு முறை

"அசல்" ரன்டே-கூட்டா முறை.

${\begin{array}{c|cccc}0&0&0&0&0\\1/2&1/2&0&0&0\\1/2&0&1/2&0&0\\1&0&0&1&0\\\hline &1/6&1/3&1/3&1/6\\\end{array}}$

3/8-ஆவது நான்காம் வரிசை முறை

இந்த முறையானது "பாரம்பரிய" முறையாக மிகத் துல்லியமானதல்ல, ஆனால் அது அதே தாளில் (குட்டா, 1901) முன்மொழியப்பட்டது என்பதால் கிளாசிக்கல் போன்றது.

${\begin{array}{c|cccc}0&0&0&0&0\\1/3&1/3&0&0&0\\2/3&-1/3&1&0&0\\1&1&-1&1&0\\\hline &1/8&3/8&3/8&1/8\\\end{array}}$

உட்பொதிக்கப்பட்ட முறைகள்

உட்பொதிக்கப்பட்ட முறைகள் ஒற்றை ரன்ஜ்-குட்டா படிப்படியின் உள்ளூர் துண்டான பிழை மதிப்பீடு செய்ய வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது, இதன் விளைவாக, தடையை கட்டுப்பாட்டு வழிமுறைகளுடன் கட்டுப்படுத்த அனுமதிக்கின்றன. இது tableau இல் இரண்டு முறைகள் கொண்டது, ஒழுங்கு p மற்றும் ஒன்று order-with-1 உடன்.

$y_{n+1}^{*}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}^{*}k_{i},$

இங்கு k_ {i} உயர் வரிசை முறைக்கு ஒத்ததாக இருக்கும். பின்னர் பிழை

$e_{n+1}=y_{n+1}-y_{n+1}^{*}=h\sum _{i=1}^{s}(b_{i}-b_{i}^{*})k_{i},$

இது O (h ^ {p}) ஆகும். இந்த வகையான முறைக்கான புஷர் டேபிள்ஹவுல் b_ {i} ^ {*}

${\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\&b_{1}^{*}&b_{2}^{*}&\dots &b_{s}^{*}\\\end{array}}$

க்யூன்-ஆய்லர்

எளிமையான தகவல்தொடர்பு ரன்டே-குட்டா முறை ஹ்யூன் முறையை இணைப்பதுடன், ஒழுங்குமுறை 2, இது யூலர் முறையுடன், வரிசை 1 ஆகும். அதன் நீட்டிக்கப்பட்ட புதர் அட்டவணை அட்டவணை:

${\begin{array}{c|cc}0&\\1&1\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\end{array}}$

ஃபெல்பெர்க்  RK1 (2)

அவர் ஃபெல்பெர்க் முறை 1 மற்றும் 2 கட்டளைகள் இரண்டு முறைகள் உள்ளன. அதன் நீட்டிக்கப்பட்ட புதர் Tableau உள்ளது:

0
1/2	1/2
1	1/256	255/256
1/256	255/256	0
1/512	255/256	1/512

B கோணங்களின் முதல் வரிசை முதல் வரிசையில் துல்லியமான தீர்வை அளிக்கிறது, இரண்டாவது வரிசை வரிசையில் இரண்டு உள்ளது.

போகக்கி-ஷாம்பைன்

பொகாக்-ஷம்பம்பின் முறையானது 3 மற்றும் 2 கட்டளைகள் இரண்டு முறைகளைக் கொண்டது. அதன் நீட்டிக்கப்பட்ட புதர் அட்டவணை அட்டவணை:

0
1/2	1/2
3/4	0	3/4
1	2/9	1/3	4/9
2/9	1/3	4/9	0
7/24	1/4	1/3	1/8

B கோணங்களின் முதல் வரிசை மூன்றாம் வரிசை துல்லியமான தீர்வை அளிக்கிறது, இரண்டாவது வரிசை வரிசையில் இரண்டு உள்ளது.

ஃபெல்பெர்க்

Runge-Kutta-Fehlberg முறையானது 5 மற்றும் 4 கட்டளைகள் இரண்டு முறைகளைக் கொண்டிருக்கிறது. அதன் நீட்டிக்கப்பட்ட புதர் அட்டவணை அட்டவணை:

0
1/4	1/4
3/8	3/32	9/32
12/13	1932/2197	−7200/2197	7296/2197
1	439/216	−8	3680/513	−845/4104
1/2	-8/27	2	−3544/2565	1859/4104	−11/40
16/135	0	6656/12825	28561/56430	−9/50	2/55
25/216	0	1408/2565	2197/4104	−1/5	0

பி குணகங்களின் முதல் வரிசை ஐந்தாவது வரிசை துல்லியமான தீர்வை அளிக்கிறது, இரண்டாவது வரிசையில் வரிசை நான்கு உள்ளது.

காச்-கார்ப்

பணமும் கார்ப் ஃபெல்ல்பெர்க்கின் அசல் யோசனையும் மாற்றியுள்ளது. பண-கார்ப் முறையின் நீட்டிக்கப்பட்ட அட்டவணை

0
1/5	1/5
3/10	3/40	9/40
3/5	3/10	−9/10	6/5
1	−11/54	5/2	−70/27	35/27
7/8	1631/55296	175/512	575/13824	44275/110592	253/4096
37/378	0	250/621	125/594	0	512/1771
2825/27648	0	18575/48384	13525/55296	277/14336	1/4

பி குணகங்களின் முதல் வரிசை ஐந்தாவது வரிசை துல்லியமான தீர்வை அளிக்கிறது, இரண்டாவது வரிசையில் வரிசை நான்கு உள்ளது.

டார்மன்ட்-ப்ரின்ச்

டோர்மாண்ட்-பிரின்ஸ் முறையின் நீட்டிக்கப்பட்ட அட்டவணை

0
1/5	1/5
3/10	3/40	9/40
4/5	44/45	−56/15	32/9
8/9	19372/6561	−25360/2187	64448/6561	−212/729
1	9017/3168	−355/33	46732/5247	49/176	−5103/18656
1	35/384	0	500/1113	125/192	−2187/6784	11/84
35/384	0	500/1113	125/192	−2187/6784	11/84	0
5179/57600	0	7571/16695	393/640	−92097/339200	187/2100	1/40

பி குணகங்களின் முதல் வரிசை ஐந்தாவது வரிசை துல்லியமான தீர்வை அளிக்கிறது மற்றும் இரண்டாவது வரிசையில் நான்காவது வரிசை துல்லியமான தீர்வை அளிக்கிறது.

உள்ளார்ந்த முறைகள்

 பின்னோக்கு யூலர்

பின்தங்கிய யூலர் முறை முதல் வரிசையாகும். நேரியல் பரவல் சிக்கல்களுக்கு நிபந்தனையற்ற வகையில் நிலையான மற்றும் அல்லாத அலைக்கற்ற.

${\begin{array}{c|c}1&1\\\hline &1\\\end{array}}$

உள்ளார்ந்த இடையில்

உள்ளார்ந்த இடையில் உள்ள முறை இரண்டாவது வரிசையில் உள்ளது. காஸ் முறைகள் என அழைக்கப்படும் collocation முறைகள் வகுப்பில் இது எளிய முறையாகும். இது ஒரு சிம்பிளான ஒருங்கிணைப்பாளியாகும்

${\begin{array}{c|c}1/2&1/2\\\hline &1\end{array}}$

காஸ்-லெஜெண்டரே முறைகள்

இந்த முறைகள், காஸ்-லெஜெண்டேட் குவாட்ரெச்சின் புள்ளிகளை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. கவுஸ்-லெஜெண்டேர் வரிசை வரிசையில் நான்கு நான்கு வகை புஷர் அட்டவணை உள்ளது:

${\begin{array}{c|cc}{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\&{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}\\\end{array}}$

கோஸ்-லெஜெண்ட்ரே முறை வரிசையில் ஆறு வகை புஷர் அட்டவணை உள்ளது:

${\begin{array}{c|ccc}{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {15}}{10}}&{\frac {5}{36}}&{\frac {2}{9}}-{\frac {\sqrt {15}}{15}}&{\frac {5}{36}}-{\frac {\sqrt {15}}{30}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {5}{36}}+{\frac {\sqrt {15}}{24}}&{\frac {2}{9}}&{\frac {5}{36}}-{\frac {\sqrt {15}}{24}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {15}}{10}}&{\frac {5}{36}}+{\frac {\sqrt {15}}{30}}&{\frac {2}{9}}+{\frac {\sqrt {15}}{15}}&{\frac {5}{36}}\\\hline &{\frac {5}{18}}&{\frac {4}{9}}&{\frac {5}{18}}\\&-{\frac {5}{6}}&{\frac {8}{3}}&-{\frac {5}{6}}\end{array}}$

லோபாட்டோ முறைகள்

II, IIIB மற்றும் IIIC எனப்படும் லோபாட்டோ முறைகளில் மூன்று முக்கிய குடும்பங்கள் உள்ளன (வகுப்பு கணித இலக்கியத்தில், I மற்றும் II குறியீடுகள் இரண்டு வகைகள் Radau முறைகள் ஒதுக்கப்பட்டுள்ளன). இவை ரெஹுவல் லோபாட்டோவின் பெயரிடப்பட்டது. அனைத்து மறைமுக முறைகள் உள்ளன, வரிசை 2 கள் - 2 மற்றும் அவை அனைத்தையும் c1 = 0 மற்றும் cs = 1. எந்த வெளிப்படையான முறையையும் போலல்லாமல், இந்த முறைகள் நிலைகளின் எண்ணிக்கையைவிட அதிகமான வரிசையில் இருக்க வேண்டும். கிளாசிக்கல் நான்காம் வரிசை முறை ரன்ஜே மற்றும் குட்டா ஆகியவற்றால் பிரபலமடைவதற்கு முன்பு லோபோத் வாழ்ந்தார்.

லோபாட்டோ IIIA முறைகள்

அவர் லோபாட்டோ IIIA முறைகள் கொலொகேசன்மு றைகள். இரண்டாம் ஒழுங்கு முறையானது பைரவர்ஜீயல் ஆட்சி என அழைக்கப்படுகிறது:

${\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}$

நான்காவது வரிசை முறை வழங்கப்படுகிறது

${\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&5/24&1/3&-1/24\\1&1/6&2/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}$

இந்த முறைகள் A- நிலையானவை, ஆனால் L- நிலையான மற்றும் B- நிலையானவை அல்ல

லோபாட்டோ IIIB முறைகள்

லோபாட்டோ IIIB முறைகள் collocation முறைகள் அல்ல, ஆனால் அவை இடைவிடாத தொகுதிகள் (ஹையர், லுபிஷ்& வன்னர் 2006, §II.1.4) என்று கருதப்படலாம். இரண்டாவது வரிசை முறை மூலம் வழங்கப்படுகிறது

${\begin{array}{c|cc}0&1/2&0\\1&1/2&0\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}$

நான்காவது வரிசை முறை வழங்கப்படுகிறது

${\begin{array}{c|ccc}0&1/6&-1/6&0\\1/2&1/6&1/3&0\\1&1/6&5/6&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}$

லோபாட்டோ IIIB முறைகள் A- நிலையானவை, ஆனால் L- நிலையான மற்றும் B- நிலையானவை அல்ல.

லோபாட்டோ IIIC முறைகள்

லோபாட்டோ IIIC முறைகள் இடைவிடாமல் இடமாற்ற முறைகள் ஆகும். இரண்டாவது வரிசை முறை மூலம் வழங்கப்படுகிறது

${\begin{array}{c|cc}0&1/2&-1/2\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}$

நான்காவது வரிசை முறை வழங்கப்படுகிறது

${\begin{array}{c|ccc}0&1/6&-1/3&1/6\\1/2&1/6&5/12&-1/12\\1&1/6&2/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}$

அவர்கள் எல்-நிலையாக உள்ளனர். அவை இயல்பான நிலையாகவும், பி-நிலையாகவும் இருக்கின்றன, அவை கடினமான சிக்கல்களுக்கு பொருத்தமானவையாக இருக்கின்றன.

லோபாட்டோ IIIC* முறைகள்

லோபாட்டோ IIIC * முறைகள் லோபாட்டோ III முறைகள் (புஷ்சர், 2008), புஷ்சரின் லோபாட்டோ முறைகள் (ஹெயர் எட் அல், 1993), மற்றும் லோபாட்டோ IIIC முறைகள் (சன், 2000) இலக்கியத்தில் குறிப்பிடப்படுகின்றன. இரண்டாவது வரிசை முறை மூலம் வழங்கப்படுகிறது

${\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}$

நான்காவது வரிசை முறை வழங்கப்படுகிறது

${\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&1/4&1/4&0\\1&0&1&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}$

இந்த முறைகள் A- நிலையான, B- நிலையான அல்லது L- நிலையானவை அல்ல. {\ Displaystyle s = 2} க்கான லோபாட்டோ IIIC * முறையே சில நேரங்களில் வெளிப்படையான ட்ரேப்சாய்டல் விதி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

பொதுவான லோபாட்டோ முறைகள்

வடிவத்தின் லோபாட்டோ குணகங்களைப் பரிசீலிப்பதன் மூலம் மூன்று உண்மையான அளவுருக்கள்

$a_{i,j}(\alpha _{A},\alpha _{B},\alpha _{C})=\alpha _{A}a_{i,j}^{A}+\alpha _{B}a_{i,j}^{B}+\alpha _{C}a_{i,j}^{C}+\alpha _{C*}a_{i,j}^{C*}$,

எங்கே

$\alpha _{C*}=1-\alpha _{A}-\alpha _{B}-\alpha _{C}$.

உதாரணமாக, லோபாட்டோ IIID குடும்பத்தில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது (னார்செட் வென்னெர் 1981), மேலும் லோபாட்டோ IIINW என்றும் அழைக்கப்படுகிறது,

${\begin{array}{c|cc}0&1/2&1/2\\1&-1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}$

மற்றும்

${\begin{array}{c|ccc}0&1/6&0&-1/6\\1/2&1/12&5/12&0\\1&1/2&1/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}$

{\ Displaystyle \ alpha _ {A} = 2}, {\ displaystyle \ alpha _ {B} = 2}, {\ displaystyle \ alpha _ {C} = - 1} மற்றும் {\ displaystyle \ alpha _ {சி *} = - 2}. வழிமுறைகள் L- நிலையானவை. அவை இயற்கணித நிலையாகவும் பி-நிலையாகவும் உள்ளன.

ராடு முறைகள்

ராடு முறைகள் முழுமையாக உள்ளார்ந்த முறைகள் (அத்தகைய முறைகள் ஒரு அணி எந்த அமைப்பு இருக்க முடியும்). ராடுமுறைகள் வரிசை 2 கள் - 1 நிலைகளில் 1 அடைய. ராடு முறைகள் ஒரு நிலையான, ஆனால் செயல்படுத்த செலவு. மேலும் அவர்கள் வரிசையில் குறைக்கப்படலாம். முதல் வரிசையில் ராடு முறை பின்னோக்கி யூலர் முறையை ஒத்திருக்கிறது ..

ராடு IA முறைகள்

மூன்றாம் ஒழுங்கு முறைகள் வழங்கப்படுகின்றன

${\begin{array}{c|cc}0&1/4&-1/4\\2/3&1/4&5/12\\\hline &1/4&3/4\\\end{array}}$

மூன்றாம் ஒழுங்கு முறைகள் வழங்கப்படுகின்றன

${\begin{array}{c|ccc}0&{\frac {1}{9}}&{\frac {-1-{\sqrt {6}}}{18}}&{\frac {-1+{\sqrt {6}}}{18}}\\{\frac {3}{5}}-{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {1}{9}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {43{\sqrt {6}}}{360}}\\{\frac {3}{5}}+{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {1}{9}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {43{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}\\\hline &{\frac {1}{9}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}\\\end{array}}$

ராடு IIA முறைகள்

இந்த முறைகள் சிஐஎஸ் பூஜ்யங்களாக உள்ளன

$P_{s}(2x-1)-P_{s-1}(2x-1)=0,$

எங்கே P_ {s} டிகிரிகளின் லெஜெண்ட்ரோ பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும். மூன்றாம் ஒழுங்கு முறைகள் வழங்கப்படுகின்றன

${\begin{array}{c|cc}1/3&5/12&-1/12\\1&3/4&1/4\\\hline &3/4&1/4\\\end{array}}$

ஐந்தாவது ஒழுங்கு முறைகள் வழங்கப்படுகின்றன

${\begin{array}{c|ccc}{\frac {2}{5}}-{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {37}{225}}-{\frac {169{\sqrt {6}}}{1800}}&-{\frac {2}{225}}+{\frac {\sqrt {6}}{75}}\\{\frac {2}{5}}+{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {37}{225}}+{\frac {169{\sqrt {6}}}{1800}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}&-{\frac {2}{225}}-{\frac {\sqrt {6}}{75}}\\1&{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {1}{9}}\\\hline &{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {1}{9}}\\\end{array}}$

மேற்கோள்கள்

• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-3-540-56670-0 {{citation}}: More than one of |ISBN= and |isbn= specified (help).
• Hairer, Ernst; Wanner, Gerhard (1996), Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-3-540-60452-5 {{citation}}: More than one of |ISBN= and |isbn= specified (help).
• Hairer, Ernst; Lubich, Christian; Wanner, Gerhard (2006), Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-3-540-30663-4 {{citation}}: More than one of |ISBN= and |isbn= specified (help).