ராம்சே தேற்றம்

ராம்சே தேற்றம் (Ramsey's Theorem) என்பது கணிதத்தில் சேர்வியலில் ஒரு உட்பிரிவு ஆகும். இதைச் சேர்ந்த பல பிரச்சினைகளில் ஆய்வுகள் கணித உலகெங்கும் நடந்துகொண்டிருக்கின்றன.

அறிமுகம்

எஃப். பி. ராம்சே என்பவர் 1930 இல் இத்தேற்றத்தை பிரசுரித்தார். இதை எளிதாகக் குறிப்பிடவேண்டுமென்றால் நண்பர்களும் அந்நியர்களும் என்ற கணிதத் தேற்றத்தைப் பார்க்கலாம். அதனுடைய பண்பியலாக்கம் தான் ராம்சே தேற்றம்.

தேற்றத்தின் கூற்று

t, r, q₁, q₂, ... , q_t என்பவை முழு எண்களாக இருக்கட்டும். மேலும், ஒவ்வொரு t க்கும்,

$1\leq r\leq q_{t}$ என்றும் கொள்வோம். இக்கருதுகோள்களை வைத்துக்கொண்டால் r,q₁, q₂, ... , q_t இவைகளின் மதிப்பைப்பொருத்து, கீழ்க்கண்ட பண்புகளுடன், ஒரு மிகச்சிறிய முழு எண் N இருக்கும்:

$n\geq N$ என்ற பண்புடன் ஒரு n-கணம் S எதுவானாலும்,அதனுடைய r-உட்கணங்களை ஒன்றுக்கொன்று வேறுபாடுள்ள t வகைகளாகப் பிரித்து அவைகளை $A_{1},A_{2},...,A_{t}$ என்று பெயரிடுவோம். அதாவது ஒவ்வொரு r-உட்கணமும் இந்த t வகைகளில் ஏதாவது ஒன்றில் (ஒன்றில் தான்)இருக்கவேண்டும்.

அப்படியானால், {1, 2, ... ,t} இல் ஏதாவது ஒரு i க்கு, S இன் X என்ற ஒரு உட்கணம், q_i உறுப்புகள் கொண்டதாகவும், X இன் எல்லா r-உட்கணங்களும் குறிப்பிட்ட ஒரே வகை A_i ஐச்சேர்ந்ததாகவும், கட்டாயமாக இருந்தே தீரும்.

இத்தேற்றத்தின் சீற்றத்தைப் புரிந்து கொள்வதற்கு 'நண்பர்களும் அன்னியர்களும்' தேற்றம் (இதை நட்புத்தேற்றம் என்றும் சொல்வதுண்டு) எவ்விதம் ராம்ஸே தேற்றத்தின் ஒரு தனிப்பட்ட நிலையாகும் என்பதைப் பார்க்கவேண்டும்.

நட்புத்தேற்றத்தின் பண்பியலாக்கம்

r = 2 என்று கொள். நாம் 2-உட்கணங்களில் தான் கவனம் செலுத்துகிறோம் என்பது இதன் பொருள். S என்பது ஒரு கோலத்தின் புள்ளிகளானால், 2-உட்கணங்கள் அதன் கோடுகளாகும். ஆக, 2 க்கு பதில் r என்று கொண்டது ஒரு பண்பியலாக்கம்.

அடுத்தாற்போல், t = 2 என்று கொள்.r-உட்கணங்களை இரண்டே வகையாகப்பிரிக்கிறோம் என்பது இதன் பொருள். நட்புத் தேற்றத்தில் கோலத்தின் கோடுகளை (2-உட்கணங்களை) இரண்டே வகையாகப் பிரிக்கிறோம் என்பதைத்தான் இது சொல்கிறது. சிவப்பு, பச்சை என்று இருநிறமாக்குவதைத்தான் இவ்விதம் ராம்ஸே தேற்றம் பண்பியலாக்குகிறது. அதாவது, 2 க்கு பதில் t என்று கொண்டு செயல்படுகிறது. இரண்டு நிறங்களுக்கு பதிலாக பல நிறங்களைப் (துல்லியமாகச் சொன்னால், t நிறங்களை) பயன்படுத்திப் பிரிக்கிறது.

மேலும், q₁-உட்கணத்தின் இடத்தில் முக்கோணத்தையும், q₂-உட்கணத்தின் இடத்திலும் முக்கோணத்தையும் எடுத்துக் கொள்வது நட்புத் தேற்றத்தின் மற்றொரு எளிமை. ஆக, r = 2, t = 2, q₁ = 3, q₂ = 3 என்று கொண்டால், ராம்ஸே தேற்றத்திலிருந்து நட்புத்தேற்றம் தனிக்குறிப்பாகின்றது.

எனினும் நட்புத் தேற்றத்திற்கும் ராம்ஸே தேற்றத்திற்கும் ஒரு முக்கியமான வேறுபாடு இருக்கிறது. ராம்ஸே தேற்றத்தில் ராம்ஸே எண் ஒன்று இருப்பதாகச் சொல்லப்படுகிறதே ஒழிய அந்த எண்ணின் மதிப்பு என்னவாக இருக்கும் என்பதற்கு அதில் குறிப்பொன்றுமில்லை. நட்புத் தேற்றத்தில் அந்த எண்ணையே தீர்மானித்திருப்பது குறிப்பிடத்தக்கது. தனிக்குறிப்பாக அடிமட்டத்தில் இருக்கும் நட்புத் தேற்றத்திலிருந்து பண்பியல்படுத்துவதற்காக ராம்ஸே தேற்றத்தின் உயரத்திற்குச் செல்லும் போது எண்ணைத் தீர்மானமாகச் சொல்லக்கூடிய வசதியை இழக்கிறோம்.

ராம்சே எண்

தேற்றத்தில் குறிப்பிட்டுச் சொல்லப்பட்டிருக்கும் எண்ணுக்கு ராம்சே எண் எனப் பெயர். அதற்குக் குறியீடு:

$N(q_{1},q_{2},...q_{t};r)$.

நட்புத் தேற்றத்தில் இது N(3,3;2) ஆகிறது. இந்த எண்ணை இப்பொழுது ராம்சே தேற்றத்தின் பாணியில் சொல்லலாம். $n\geq N(3,3;2)$ என்று கொண்டு ஒரு n-கணம் S ஐ எடுத்துக்கொண்டால், அதனுடைய 2-உட்கணங்களை சிவப்பு, பச்சை யென்றோ அல்லது வேறு முறையிலோ இரண்டு வகைகளாகப் பிரித்தால், எல்லா 2-உட்கணங்களும் முதல் வகையிலடங்கினதாக ஒரு 3-உட்கணமோ அல்லது எல்லா 2-உட்கணங்களும் இரண்டாவது வகையிலடங்கினதாக ஒரு 3-உட்கணமோ இருக்கும் என்று உறுதியாகச் சொல்லலாம். இதுதான் நட்புத் தேற்றம்.

மற்ற ராம்சே எண்கள் உள்ளன என்று மட்டும் தெரியுமே தவிர ஒரு சில ராம்சே எண்கள்தான் தீர்மானிக்கப் பட்டிருக்கின்றன. மற்றவை யெல்லாம் ஆய்வு நிலையிலேயே உள்ளன. t = 2 = r என்ற சூழ்நிலையில், ராம்சே எண்ணை $R(q_{1},q_{2})$ அல்லது $R(p,q)$ என்று எளிதாகக் குறிப்பிடுவது வழக்கம். கீழுள்ள அட்டவணையில் இதுவரை தெரிந்த சில ராம்ஸே எண்களின் மதிப்புகள் காட்டப்பட்டுள்ளன. p, q எதுவாக இருந்தாலும் R(1, q) = 1; R(2, q) = q ; மற்றும், R(p, q) = R(q, p).

p,q	3	4
3	6
4	9	18
5	14	25
6	18
7	23
8	28
9	36

மற்ற R(p,q) சிலவற்றிற்கு வரம்புகள் தெரியும். எ.கா.: $43\leq R(5,5)\leq 49$. பலவற்றிற்கு அதுகூடத் தெரியாது.

பல நிற ராம்சே எண்கள்

t = 2 என்ற சூழ்நிலை உட்கணங்களை இரண்டே வகையாகப் பிரிக்கிறோம் என்பதைக் காட்டுகிறது. அதாவது, கோடுகளை நிறமாக்கும் செயல்முறையில் இரண்டே நிறங்கள் பயன்படுத்தப் படுகின்றன. t = 3 என்ற சூழ்நிலை மூன்று நிறங்களைச் செயல்முறையில் கொண்டுவரும். t = 3 என்ற சூழ்நிலையில் தெரிந்த ஒரே ராம்சே எண் N(3,3,3; 2) = 17.இதைத்தீர்மானம் செய்வது அப்படி ஒன்றும் எளிதாக இருக்கவில்லை. N(3,3; 2) = 6 என்பதை பயன்படுத்தி $N(3,3,3;2)\leq 17$ என்ற நிறுவலை நாமே செய்யலாம். ஆனால் இதற்கு எதிர்பக்கமாக வேண்டிய $N(3,3,3;2)\geq 17$ என்ற சமனிலியை நிறுவ Galois field என்று சொல்லப்பட்ட முடிவுறு களங்களின் பலம் தேவைப்பட்டது.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• ராம்ஸே எண்

துணை நூல்கள்

• F. P. Ramsey: "On a problem of formal logic", Proc. London Math. Soc. series 2, vol. 30 (1930), pp. 264–286
• R. Graham, B. Rothschild, J.H. Spencer, Ramsey Theory, John Wiley and Sons, NY (1990).
• V. Krishnamurthy. Culture, Excitement and Relevance of Mathematics. 1990. Wiley Eastern Limited. New Delhi.