ரீமான் கருதுகோள்

ரீமான் கருதுகோள் (Riemann hypothesis) கணிதத்தில் தீர்வு காணமுடியாமல் இருக்கும் சிக்கலான கேள்விகளில் ஒன்று.. 1859 இல் பெர்ன்ஹார்ட் ரீமான் (1826-1866) இனால் முன்மொழியப்பட்டு இன்று வரையில் தீர்வு இல்லாமல் இருந்து கொண்டிருக்கிறது. இக்கருதுகோள் இசீட்டா-சார்பு என்ற ஒரு புகழ் வாய்ந்த சார்பின் சுழிதிகளைப் பற்றியது. ரீமானுக்குப்பிறகு இச்சார்பு ரீமான் இசீட்டா சார்பு அல்லது ரீமன் இசீட்டா சார்பியம் என்றே அழைக்கப்படுகிறது. இதன் வரையறை:^[1]^[2]^[3]

$\zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+...$

இங்கு $s$ என்ற மாறி ஒரு சிக்கலெண் மாறி. $s=\sigma +it$ . $\sigma$ வும் $t$ யும் மெய்யெண்கள். $i$ என்பது கற்பனை அலகு.

இச்சார்பில் $s=-2,-4,-6,...$ ஆக இருந்தால் $\zeta (s)=0$ என்பது தெரிந்த செய்தி. ஆனால் இதைப் புரிந்துகொள்ள சிக்கலெண் பகுவியலில், காமா சார்புகள் மூலம் ரீமான் இசீட்டா சார்பின் சார்புச் சமன்பாட்டைப் பார்க்கவேண்டும்.

-2, -4, -6, ... ஆகியவைகளை வெற்றுச்சுழிதிகள் என்பர். வெற்றல்லாத சுழிதிகளைப்பற்றியது ரீமான் கருதுகோள்.

ரீமானின் ஊகம்

$s=\sigma +it$ என்ற சிக்கலெண் ரீமான் இசீட்டா சார்பின் வெற்றல்லாத சுழிதியாயிருந்தால், $\sigma =1/2$ .

அதாவது, சிக்கலெண் தளத்தில், வெற்றல்லாத சுழிதிகளெல்லாம் $\sigma =1/2$ என்ற செங்குத்துக்கோட்டில் தான் இருக்கும்.

1914 இல் ஜி. எச். ஹார்டி முடிவற்ற எண்ணிக்கையில் வெற்றல்லாத சுழிதிகள் இந்தக்கோட்டில்தான் இருக்கும் என்று நிறுவி ஒரு பெரிய சாதனை புரிந்தார். ஆனால் எல்லா வெற்றல்லாத சுழிதிகளும் அப்படியிருக்குமா என்பதுதான் கேள்வி. அப்படியிருக்கும் என்பது ரீமானின் ஊகம். இந்த ஊகம் உண்மைதான் என்ற கருதுகோள் எண்கோட்பாட்டிலும் இன்னும் பல சூழ்நிலைகளிலும் முக்கியமாகப் பயன்பட்டு வருகிறது. பகா எண் தேற்றமும் இதுவும் மிகச்சிடுக்கான வழியில் பிணைந்துள்ளன.

இப்பிரச்சினையை டேவிட் ஹில்பெர்ட் 1900 இல் பன்னாட்டுக் கணிதக் காங்கிரஸில் இருபதாவது நூற்றாண்டிற்காக 23 கேள்விகளைப் பொறுக்கி, இவைதான் இருபதாவது நூற்றாண்டில் கணிதத்தை வழி எடுத்துச் செல்லப்போகிறது என்று பேசினார். அந்த 23 கேள்விகளில், எட்டாவது கேள்வியாக ரீமான் கருதுகோள் பட்டியலிடப்பட்டது. அவர் வைத்த பட்டியலில் பல கேள்விகள் இருபதாவது நூற்றாண்டில் தீர்க்கப்பட்டன. ஆனால் ரீமான் கருதுகோள் இன்னும் தீராக் கேள்வியாகவே உள்ளது.

அமெரிக்க ஐக்கிய நாடுகளில் கேம்ப்ரிட்ஜ் (Mass.) இல் இயங்குகிற கிளே கணிதக்கழகம் புது ஆயிரமாண்டு தொடக்கத்தில், ஏழு கணிதக் கேள்விகளைப் தேர்ந்தெடுத்து இக்கேள்விகளைத் தீர்ப்பவருக்கு ஒவ்வொரு கேள்விக்கும் பரிசாக மில்லியன் அமெரிக்க டாலர்கள் அறிவித்திருக்கிறது. இந்தப் பட்டியலில், ஹில்பர்ட்டின் 23 கேள்விகளில் அது இந்த ரீமான் கருதுகோள் கேள்வி மட்டும் இடம் பெற்றிருக்கிறது.

மேற்கோள்கள்

↑ Euler, Leonhard (1744). Variae observationes circa series infinitas. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9, pp. 160–188, Theorems 7 and 8. In Theorem 7 Euler proves the formula in the special case $s=1$ , and in Theorem 8 he proves it more generally. In the first corollary to his Theorem 7 he notes that $\zeta (1)=\log \infty$ , and makes use of this latter result in his Theorem 19, in order to show that the sum of the inverses of the prime numbers is $\log \log \infty$ .
↑ Values for ζ can be found by calculating, e.g., ζ(1/2 − 30i).("Wolframalpha computational intelligence". wolframalpha.com. Wolfram. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2 October 2022.
↑ (Ingham 1932), Theorem 30, p. 83; (Montgomery & Vaughan 2007), p. 430.

[1] Euler, Leonhard (1744). Variae observationes circa series infinitas. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9, pp. 160–188, Theorems 7 and 8. In Theorem 7 Euler proves the formula in the special case $s=1$ , and in Theorem 8 he proves it more generally. In the first corollary to his Theorem 7 he notes that $\zeta (1)=\log \infty$ , and makes use of this latter result in his Theorem 19, in order to show that the sum of the inverses of the prime numbers is $\log \log \infty$ .

[2] Values for ζ can be found by calculating, e.g., ζ(1/2 − 30i).("Wolframalpha computational intelligence". wolframalpha.com. Wolfram. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2 October 2022.

[3] (Ingham 1932), Theorem 30, p. 83; (Montgomery & Vaughan 2007), p. 430.

[1]

[2]

[3]