லைப்னிட்சின் குறியீடு

நுண்கணிதத்தில் லைப்னிட்சின் குறியீட்டில் (Leibniz's notation) x , y மாறிகளில் ஏற்படும் நுண்ணிய சிறிதளவான கூடுதலைக் குறிப்பதற்கு முறையே dx , dy என்ற குறியீடுகள் பயன்படுத்தப்படுகிறது. 17 ஆம் நூற்றாண்டின் ஜெர்மனியின் மெய்யியலாளரும் கணிதவியலாளருமான லைப்னிட்சைச் சிறப்பிக்கும் விதமாக இக்குறியீட்டிற்கு அவரது பெயரிடப்பட்டுள்ளது.

லைப்னிட்சின் குறியீட்டின்படி,

$y=f(x)\,,$ என்ற சார்பில், x -ஐப் பொறுத்த y இன் வகைக்கெழு:

${\frac {dy}{dx}}$ ஆகும்.

ஆனால் பிற்காலத்தில் வகைக்கெழு, எல்லை மதிப்பாகப் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}},$

வகையிடலில் லைப்னிட்சின் குறியீடு

முதல் வகைக்கெழு

லைப்னிட்சின் குறியீட்டில் f(x) என்ற சார்பின் முதல் வகைக்கெழு:

${\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx}}\,$

$y=f(x)\,,$ எனில் வகைக்கெழு:

${\frac {dy}{dx}}\,$

பிற குறியீடுகள்

லைப்னிட்சைத் தவிர மேலும் பல கணிதவியலாளர்களும் வகையிடலுக்கானக் குறியீடுகளை உருவாக்கியுள்ளனர்.

அவற்றுள் குறிப்பிடத்தக்கவை:

• லாக்ராஞ்சியின் குறியீடு

${\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx}}=f'(x)\,$

• நியூட்டனின் குறியீடு

${\frac {dx}{dt}}={\dot {x}}\,$

உயர் வரிசை வகைக்கெழுக்கள்

• y = f(x) இன் இரண்டாம் வகைக்கெழு

${\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}={\frac {d^{2}}{\left(dx\right)^{2}}}{\bigl (}f(x){\bigr )}={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\bigl (}f(x){\bigr )}$

(அல்லது)

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,$ எனவும் எழுதலாம்.

• y = f(x) இன் மூன்றாம் வகைக்கெழு

${\frac {d\left({\frac {d\left({\frac {d\left(f(x)\right)}{dx}}\right)}{dx}}\right)}{dx}}=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{3}{\bigl (}f(x){\bigr )}={\frac {d^{3}}{\left(dx\right)^{3}}}{\bigl (}f(x){\bigr )}\,$

இதனை,

$\left({\frac {d}{dx}}\right)^{3}{\bigl (}f(x){\bigr )}={\frac {d^{3}}{\left(dx\right)^{3}}}{\bigl (}f(x){\bigr )}\,$ எனவும்,

(அல்லது)

${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}\,$ எனவும் எழுதலாம்.

• y = f(x) இன் n ஆவது வரிசை வகைக்கெழு

${\frac {d^{n}{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx^{n}}}{\text{ or }}{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}$

ஒரு புள்ளியில் வகைக்கெழு

x = a புள்ளியில், x ஐப் பொறுத்த y இன் வகைக்கெழுவை லைபினிட்சின் குறியீட்டில் கீழே தரப்பட்டுள்ளவாறு இருவிதமாக எழுதலாம்:

$\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}$

(அல்லது)

${\frac {dy}{dx}}(a).$

பயன்பாடு

இக்குறியீட்டில் எந்த மாறியைப் பொறுத்து வகையிடப்படுகிறதோ அம்மாறி பகுதியில் குறிப்பிடப்படுகிறது. எனவே பகுதி வகையிடலில் இது பெரிதும் உதவியாய் இருக்கிறது. இம்முறையில் சங்கிலி விதியை எழுதுவது அவ்விதியினை எளிதாக நினைவில் கொள்ள வசதியாக உள்ளது:

சங்கிலி விதியையும், பிரதியிடல் முறையில் தொகையிடலையும் இக்குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி எளிதாக எழுதலாம்.

சங்கிலி விதி:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du_{1}}}\cdot {\frac {du_{1}}{du_{2}}}\cdot {\frac {du_{2}}{du_{3}}}\cdots {\frac {du_{n}}{dx}}\,,$

தொகையிடலின் பிரதியிடல் முறை:

$\int y\,dx=\int y{\frac {dx}{du}}\,du.$