வரிசைமாற்றத்தைப் பற்றிய கோஷி தேற்றம்

கணிதத்தில் ஓர் n-கணத்தின் வரிசைமாற்றம் என்பது அவ்வுறுப்புக்களை ஒரு வரிசையிலிருந்து வேறொரு வரிசைக்கு மாற்றும் செயற்பாடு. ஒவ்வொரு வரிசைமாற்றத்திற்கும் அதிலுள்ள சுழல்களைப்பொருத்து அதன் (சுழல்)வகை தீர்மானிக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ${\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\\2&4&3&9&7&8&5&6&1\end{pmatrix}}$ என்ற 9-வரிசைமாற்றத்தில்

ஓர் 1-சுழல், இரண்டு 2-சுழல்கள், மற்றும் ஒரு 4-சுழல்

உள்ளன. இதனால் இதன் சுழல்வகை $12^{2}4$ என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படும். இதே சுழல்வகையைக் கொண்டதாக எத்தனை 9-வரிசைமாற்றங்கள் இருக்கமுடியும் என்ற கேள்விக்கு கோஷி (1789-1857) தேற்றம் விடை தருகிறது. அதன்படி இவ்வகையில் 11,340 வரிசைமாற்றங்கள் இருக்கின்றன.

தேற்றம்

ஓர் $n$-வரிசைமாற்றத்தில்

$j_{1}\quad 1$-சுழல்கள்,

$j_{2}\quad 2$-சுழல்கள்,

....,

$j_{k}\quad k$-சுழல்கள்

இருந்தால், வரிசைமாற்றத்தின் வகை (type) $1^{j_{1}}2^{j_{2}}...k^{j_{k}}$ என்று சொல்லப்படும். சுருக்கமாக வகை $(j)$ என்றும் சொல்லலாம். நிச்சயமாக

$1j_{1}+2j_{2}+...+kj_{k}=n$.

இவ்வகையிலுள்ள $n$-வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை =

${\frac {n!}{1^{j_{1}}2^{j_{2}}...k^{j_{k}}.{j_{1}}!{j_{2}}!...{j_{k}}!}}$

$\Pi (j)=1^{j_{1}}2^{j_{2}}...k^{j_{k}}.{j_{1}}!{j_{2}}!...{j_{k}}!$ என்ற குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி இவ்வெண்ணிக்கையை ${\frac {n!}{\Pi (j)}}$ என்று சுருக்கமாகவும் சொல்லலாம்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

• $(12^{2}4)$ என்ற சுழல்வகையில் உள்ள 9-வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை = ${\frac {9!}{1\times 2^{2}\times 4\times 2!}}=11,340.$
• $(12^{2}$) என்ற சுழல்வகையில் உள்ள 5-வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை = ${\frac {5!}{1\times 2^{2}\times 2!}}=15.$

நிறுவலின் சாயல்

ஒரு மாதிரிக்காக 27 குறியீடுகள் கொண்ட ஒரு கணத்தின் வரிசைமாற்றங்களில் (j) = $1^{2}.2^{5}.3.4^{3}$ என்ற சுழல்வகையை கவனிப்போம். இவ்வரிசைமாற்றம்

(.)(.)(..)(..)(..)(..)(..)(...)(....)(....)(....)

என்ற வகையில் இருக்கும். அடைப்புக் குறிகளுக்குள் இருக்கும் ஒவ்வொரு புள்ளியின் இடத்திலும் 27 குறியீட்டிலிருந்து ஒன்றை (எந்த குறியீட்டையும் இரட்டிக்காமல்) பொருத்திவிட்டால் நமக்கு வேண்டிய ஒரு வரிசைமாற்றம் கிடைத்துவிடும். மொத்தம் 27! வழிகளில் இதைச்செய்யலாம். ஆனால் பல முறைகள் ஒரே வரிசைமாற்றத்தில் வந்து முடியும். இப்படி நேரும் இரட்டிப்புகளை நம் எண்ணிக்கையிலிருந்து தள்ளிவிட வேண்டும். இந்த இரட்டிப்புகள் இரண்டு விதமாக நேரலாம்:

• உதாரணமாக,

மூன்று 4-சுழல்கள் நேரும்போது, சுழல்களின் சேர்வை பரிமாறக்கூடியதாதலால்,

$(1234)(5678)(9\quad 10\quad 11\quad 12)$ ஐ

$(5678)(9\quad 10\quad 11\quad 12)(1234)$ என்றோ, அல்லது

$(5678)(1234)(9\quad 10\quad 11\quad 12)$ என்றோ

எழுதலாம். ஆனால் இவையெல்லாம் ஒரே வரிசைமாற்றத்தையே குறிக்கும்.

• மற்றும், ஒரு சுழலை அதன் சுற்றுவரிசையை பாதிக்காமல் எந்த குறியீட்டிலும் தொடங்கலமாதலல்,

(5678) என்ற சுழல் (6785), அல்லது, (7856) என்றோ மொத்தம் நான்கு முறைகளில் எழுதப்படலாம்.

ஒவ்வொரு $i$-சுழலும் $i$ முறைகளில் மாற்றி எழுதப்படலாம்.

இதனால் எண்ணிக்கையை சரியாகக் கணக்கிடுவதற்கு 27! என்ற எண்ணிக்கையை $1^{2}.2^{5}.3.4^{3}.2!.5!.3!$ ஆல் வகுக்கவேண்டும்.

இதே நியாயத்தினால்தான் தேற்றத்தின் நிறுவலும் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு