வளைவு ஆரம் (கணிதம்)

வடிவவியலில், ஒரு வளைவரையின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியிடத்து அவ்வளைவரையின் வளைவு ஆரம் (radius of curvature) R என்பது, அப்புள்ளியில் கிட்டத்தட்ட தரப்பட்ட வளைவரையை ஒத்தமையும் வட்டவில்லின் ஆரமாகும். வளைவு ஆரத்தின் மதிப்பு வளைவின் மதிப்பின் தலைகீழியாக இருக்கும்.

வளைவு ஆரம் மற்றம் வளைவு வட்டம்

தளத்திலமைந்த வளைவரையொன்றின் வளைவு ஆரம்:

$R={\frac {ds}{d\varphi }}={\frac {1}{\kappa }},$

இங்கு s என்பது வளைவரை மீதுள்ள ஒரு நிலையான புள்ளியிலிருந்து காணப்படும் வில்லின் நீளம்; φ என்பது தொடுகோணம்; $\scriptstyle \kappa$ வளைவு.

• வளைவரையின் சமன்பாடு y(x) என கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமையில் தரப்பட்டால் வளைவு ஆரம் (வளைவரையின் சமன்பாடு இருமுறை வகையிடத்தக்கதாக இருக்கும்பட்சத்தில்):

$R=\left|{\frac {\left(1+y'^{\,2}\right)^{3/2}}{y''}}\right|,\qquad {\mbox{where}}\quad y'={\frac {dy}{dx}},\quad y''={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},$

| z | என்பது z இன் தனி மதிப்பைக் குறிக்கும்.

வளைவரையின் சமன்பாடு x(t) and y(t), என துணையலகுகளில் தரப்பட்டால் வளைவு ஆரம்:

$R=\;\left|{\frac {ds}{d\varphi }}\right|\;=\;\left|{\frac {{\big (}{{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}{\big )}^{3/2}}{{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}}\right|,\qquad {\mbox{where}}\quad {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}},\quad {\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\quad {\dot {y}}={\frac {dy}{dt}},\quad {\ddot {y}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}.$

எடுத்துக்காட்டுகள்

அரைவட்டங்களும் வட்டங்கள்

மேல் அரைத்தளத்தில் அமையும் a அலகு ஆரமுள்ள அரைவட்டத்தின் வளைவு ஆரம்:

$y={\sqrt {a^{2}-x^{2}}},\quad y'={\frac {-x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}},\quad y''={\frac {-a^{2}}{(a^{2}-x^{2})^{3/2}}},\quad R=|-a|=a.$

அரைத்தளத்தில் அமையும் a அலகு ஆரமுள்ள அரைவட்டத்தின் வளைவு ஆரம்:

$y=-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}},\quad R=|a|=a.$

a அலகு ஆரமுள்ள வட்டத்தின் வளைவு ஆரம் a.

நீள்வட்டங்கள்

நீள்வட்டம் (சிவப்பு) மற்றும் அதன் மலரி (நீலம்). மிக அதிக மற்றும் மிகக் குறைந்த வளைவு ஆரம் கொண்ட புள்ளிகளாக அமையும் நீள்வட்டத்தின் முனைகள்.

ஒரு நீள்வட்டத்தின் நெட்டச்சின் நீளம் 2a  ; குற்றச்சின் நீளம் 2b எனில் நெட்டச்சின் முனைகள் மிகக்குறைந்த வளைவு ஆரம் கொண்ட புள்ளிகளாகவும் $\left(R={\frac {b^{2}}{a}}\right)$, குற்றச்சின் முனைகள் மிகஅதிக வளைவு ஆரம் கொண்ட புள்ளிகளாகவும் $\left(R={\frac {a^{2}}{b}}\right)$ அமைகின்றன.

மேலும் பார்க்க

• வளைவு ஆரம்

மேற்கோள்கள்

• do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-13-212589-7.