தொடுகோணம்

வடிவவியலில் கார்ட்டீசியன் தளத்தில், ஒரு வளைவரையின் மேலமையும் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் அவ் வளைவரையின் தொடுகோணம் (tangential angle) என்பது அப் புள்ளியில் அந்த வளைவரைக்கு வரையப்பட்ட தொடுகோட்டிற்கும் x-அச்சிற்கும் இடைப்பட்ட கோணம் ஆகும்.

வளைவரை (சிவப்பு) மீதுள்ள புள்ளி P இல் தொடுகோணம்: $\varphi .$

சமன்பாடுகள்

• வளைவரையின் துணையலகுச் சமன்பாடுகள்: $(x(t),\ y(t))$ எனில்,

$t$ எனும் புள்ளியில் தொடுகோணத்தின் வரையறை:

${\frac {(x'(t),\ y'(t))}{|x'(t),\ y'(t)|}}=(\cos \varphi ,\ \sin \varphi ).$

$(x'(t),\ y'(t))$ என்பது $(x(t),\ y(t))$ இன் வகைக்கெழுவைக் குறிக்கிறது. தொடுகோணம் $\varphi ,$ திசைவேக வெக்டர்$(x'(t),\ y'(t))$ இன் திசையைத் தருகிறது. திசையன் ${\frac {(x'(t),\ y'(t))}{|x'(t),\ y'(t)|}},$ அலகு தொடுகோட்டுத் திசையன் என அழைக்கப்படுகிறது.

• வளைவரையின் சமன்பாடு: $(x(s),\ y(s))$ என, அதன் வில்லின் நீளத்தைத் ($s$) துணையலகாகக் கொண்டும், $|x'(s),\ y'(s)|=1$ எனவும் இருந்தால்

தொடுகோணத்தின் வரையறை:

$(x'(s),\ y'(s))=(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )$.

இவ் வகையில் வளைவின் மதிப்பு:

$\kappa =\varphi '(s)$ ஆகும். வளைவரை இடப்புறம் வளைந்தால் வளைவின் மதிப்பு நேர் மதிப்பாகவும், வளைவரை வலப்புறம் வளைந்தால் வளைவின் மதிப்பு எதிர் மதிப்பாகவும் இருக்கும்.

• வளைவரையின் சமன்பாடு: $y=f(x)$ எனில்,

தொடுகோணம்:

$\varphi =\arctan f'(x)$.

இங்கு தொடுகோணத்தின் மதிப்பு $-\pi /2,$ $\pi /2$ க்கு இடையில் இருக்கும்.

போலார் ஆயதொலைவுகளில்

போலார் ஆயதொலைவுகளில், தரப்பட்ட புள்ளியில், வளைவரைக்கு வரையப்பட்ட தொடுகோட்டிற்கும் ஆதியிலிருந்து அப்புள்ளிக்கு வரையப்பட்ட கதிருக்கும் இடைப்பட்ட கோணம், போலார் தொடுகோணம் (polar tangential angle) என வரையறைக்கப்படுகிறது. போலார் தொடுகோணம் $\psi ,$ மற்றும் புள்ளியின் போலார் ஆயதொலைவுகளின் ஒரு கூற்றான போலார் கோணம் $\theta$ மற்றும் $\varphi$ மேலே வரையறுக்கப்பட்ட தொடுகோணம் எனில்,

$\psi =\varphi -\theta .$

போலார் ஆயதொலைவுகளில் வளைவரையின் சமன்பாடு $r=f(\theta )$ எனில் போலார் தொடுகோணத்தின் வரையறை:

${\frac {(f'(\theta ),\ f(\theta ))}{|f'(\theta ),\ f(\theta )|}}=(\cos \psi ,\ \sin \psi )$.

வளைவரையின் சமன்பாடு வில்லின் நீளத்தைத் ($s$) துணையலகாகக் கொண்டமைக்கப்பட்டால் சமன்பாடு:

$r=r(s),\ \theta =\theta (s)$, $|r'(s),\ r\theta '(s)|=1$

இப்பொழுது போலார் தொடுகோணத்தின் வரையறை: $(r'(s),\ r\theta '(s))=(\cos \psi ,\ \sin \psi )$.

போலார் தொடுகோணம் மாறிலியாகவுள்ள வளைவரையாக மடக்கைச் சுருள் உள்ளது.

மேற்கோள்கள்

• Weisstein, Eric W., "Tangential Angle", MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "Natural Equation", MathWorld.
• "Notations" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables
• R.C. Yates (1952). A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. pp. 123–126.
• "Angle between Tangent and Radius Vector" in An elementary treatise on the differential calculus By Benjamin Williamson p222 9th ed. (1899) online