வான் இசுக்கூட்டனின் தேற்றம்

வான் இசுக்கூட்டனின் தேற்றம் (Van Schooten's theorem) சமபக்க முக்கோணத்தின் பண்பினைத் தருகிறது. இடச்சு கணிதவியலாளரான வான் இசுக்கூட்டனின் பெயரால் இத்தேற்றம் அழைக்கப்படுகிறது.

தேற்றத்தின் கூற்று:

சமபக்க முக்கோணம் $\triangle ABC$ இன் $P$ சுற்று வட்டத்தின் மேலுள்ள ஒரு புள்ளி $P$ எனில், $P$ உடன் சமபக்க முக்கோணத்தின் உச்சிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டுகள் $PA,PB,PC$ மூன்றில் அதிக நீளமான கோட்டுத்துண்டு மற்ற இரு கோட்டுத்துண்டுகளின் நீளங்களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும்.

வட்ட நாற்கரங்களுக்கான தொலெமியின் தேற்றத்தின் விளைவாக இத்தேற்றம் அமைகிறது.

$\triangle ABC$ இன் பக்கநீளம் $a$ , $PA,PB,PC$ மூன்றில் அதிக நீளமான கோட்டுத்துண்டு $PA$ என்க. முக்கோணத்தின் உச்சிகள் $A,B,C$ மூன்றும் $P$ புள்ளியும் சுற்றுவட்டத்தின் மீது அமைவதால் அவை ஒரு வட்ட நாற்கரத்தை அமைக்கும். எனவே தொலெமியின் தேற்றப்படி:

{\begin{aligned}&|BC|\cdot |PA|=|AC|\cdot |PB|+|AB|\cdot |PC|\\[6pt]\Longleftrightarrow &a\cdot |PA|=a\cdot |PB|+a\cdot |PC|\end{aligned}}

$a$ ஆல் வகுக்க வான் இசுக்கூட்டனின் தேற்றத்தின் முடிவு கிடைக்கும்:

|PA|=|PB|+|PC|

மேற்கோள்கள்

Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA, 2010, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780883853481, pp. 102–103
Doug French: Teaching and Learning Geometry. Bloomsbury Publishing, 2004, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780826434173 , pp. 62–64
Raymond Viglione: Proof Without Words: van Schooten′s Theorem. Mathematics Magazine, Vol. 89, No. 2 (April 2016), p. 132
Jozsef Sandor: On the Geometry of Equilateral Triangles. Forum Geometricorum, Volume 5 (2005), pp. 107–117

வெளியிணைப்புகள்

Van Schooten's theorem at cut-the-knot.org