பெர்மாவின் தேற்றம் (நிலைப் புள்ளிகள்)

கணிதத்தில் ஃபெர்மா தேற்றத்தின்படி (Fermat's theorem (stationary points)), திறந்த கணங்களில் வரையறுக்கப்பட்ட வகையிடக்கூடிய சார்புகளின் ஒவ்வொரு இடஞ்சார்ந்த பெருமம் மற்றும் சிறுமப் புள்ளியும் அச்சார்பின் நிலைப் புள்ளிகளில் அமைகிறது. மெய் பகுப்பியலில் அமைந்த இத்தேற்றம் பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் Pierre de Fermat பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது.

ஃபெர்மா தேற்றத்தின்படி, சார்பு $\displaystyle f$ -ன் முகட்டு மதிப்புகள்,அச்சார்பின் வகைக்கெழு $\displaystyle f'$-ஐ பூச்சியத்துக்குச் சமப்படுத்தும் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன்மூலம் கண்டுபிடிக்கப்படுகின்றன. சார்பின் முகட்டு மதிப்புகளைக் காண்பதற்குத் தேவையான நிபந்தனையை மட்டுமே இத்தேற்றம் தருகிறது. சார்பின் அனைத்து நிலைப் புள்ளிகளிலும் பெரும அல்லது சிறும மதிப்புகள் அமைவது இல்லை. சில நிலைப் புள்ளிகள் வளைவுமாற்றுப் புள்ளிகளாகவும் அமையலாம். சார்பின் இரண்டாம் வகைக்கெழு இருக்குமானால் அதனைக் கொண்டு ஒரு நிலைப்புள்ளி, பெரும, சிறும அல்லது வளைவுமாற்றுப் புள்ளியா என்பதைத் தீர்மானிக்கலாம்.

ஃபெர்மா தேற்றம்

$f\colon (a,b)\rightarrow \mathbb {R}$ -சார்பின் ஒரு இடஞ்சார்ந்த இறுதிமதிப்புப் புள்ளி $\displaystyle x_{0}\in (a,b)$ என்க. இச்சார்பு $\displaystyle x_{0}$ -ல் வகையிடத்தக்கது எனில்:

$\displaystyle f'(x_{0})=0$.

இத்தேற்றத்தின் நேர்மாறுக் கூற்று:

சார்பு $\displaystyle f$ , $\displaystyle x_{0}\in (a,b)$ புள்ளியில் வகையிடத்தக்கது என்க.

$\displaystyle f'(x_{0})\neq 0$ எனில், $x_{0}$ -புள்ளியில் $\displaystyle f$ -க்கு இறுதிமதிப்பு அமையாது.

உகமப்படுத்தலில் பயன்பாடு

A எனும் ஆட்களத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட சார்பு f -க்கு மீப்பெரு பெருமம் அல்லது மீச்சிறு சிறுமம், ஆட்களத்தின் வரம்புப் புள்ளிகள், வகையிடத் தக்கதாக இல்லாத புள்ளிகள் மற்றும் நிலைப் புள்ளிகளில் அமையும் எனும் கூற்றை இத்தேற்றத்தின் கிளைமுடிவாகக் கொள்ளலாம்.

$x_{0}$ புள்ளியில் சார்பு f -க்கு ஒரு முகட்டு மதிப்பு இருந்தால் பின்வருவனவற்றுள் ஒன்று உண்மையாக இருக்கும்:

• வரம்பு : $x_{0},$ A -ன் வரம்பில் அமையும் புள்ளி.
• வகையிடத்தகாமை : $x_{0}$-ல் f வகையிடத்தக்கதாக அமையாது.
• நிலைப்புள்ளி : $x_{0},$ f -ன் ஒரு நிலைப்புள்ளி.

நிறுவல்

நிறுவல் 1: வகைக்கெழு பூச்சியமல்ல எனில் முகட்டு மதிப்பு இல்லை

$x_{0}\in (a,b),$ -புள்ளியில் சார்பு f வகையிடத்தக்கது என்க. வகைக்கெழு: $K,$ ($K>0,$) அதாவது, $x_{0}$ -ல் தொடுகோட்டின் சாய்வு நேர்மம். இப்பொழுது $x_{0}$ -ன் வழியே செல்லும் வெட்டுக்கோடுகள் எல்லாம் நேர்ம சாய்வு கொண்டதாக உள்ள $x_{0}$ -ன் அண்மையகம் ஒன்று இருக்கும். எனவே $x_{0},$ க்கு வலப்புறம் f -ன் மதிப்பு அதிகமாகவும் $x_{0},$ -க்கு இடப்புறம் f -ன் மதிப்பு குறைவாகவும் இருக்கும்.

வகைக்கெழுவின் வரையறைப்படி, $f'(x_{0})=K$ என்பதால்

$\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {f(x_{0}+\epsilon )-f(x_{0})}{\epsilon }}=K.$

குறிப்பாக, எல்லையின் வரையறைப்படி, தேவையான அளவு சிறியதான $\epsilon$ (ஏதேனும் $\epsilon _{0}$ விடச் சிறியது) -க்கு, இவ்விகிதத்தின் மதிப்பு குறைந்தபட்சம் $K/2,$ ஆக இருக்கும்.

எனவே இடைவெளி $(x_{0}-\epsilon _{0},x_{0}+\epsilon _{0})$ -ல்:

${\frac {f(x_{0}+\epsilon )-f(x_{0})}{\epsilon }}>K/2;$

$\epsilon >0,$ எனில்:

$f(x_{0}+\epsilon )>f(x_{0})+(K/2)\epsilon >f(x_{0}),\,$

அதாவது இடைவெளியில் வலப்புறம்:

$f>f(x_{0}),\,$ .................1

$\epsilon <0,$ எனில்:

$f(x_{0}+\epsilon )<f(x_{0})+(K/2)\epsilon <f(x_{0}),\,$

அதாவது இடைவெளியில் இடப்புறம்:

$f<f(x_{0}),\,$ .....................2

எனவே இவ்விரு முடிவுகளிலிருந்து $x_{0}$ -அண்மையகத்தில் f. _ன் மதிப்பு மாறுவதால் இப்புள்ளியில் இடஞ்சார்ந்த அல்லது மீப்பெரு பெருமம் அல்லது மீச்சிறு சிறுமம் கிடையாது.

நிறுவல் 2: முகட்டு மதிப்பு இருந்தால் வகைக்கெழு பூச்சியம்.

$\displaystyle x_{0}$ என்ற புள்ளி இடஞ்சார்ந்த பெருமப் புள்ளி என எடுத்துக் கொண்டு இப்புள்ளியில் சார்பின் வகைக்கெழு பூச்சியம் என நிறுவலாம்.

$\displaystyle x_{0}$ ஒரு இடஞ்சார்ந்த பெருமப்புள்ளி என்க. (இதேபோல் இடஞ்சார்ந்த சிறுமப் புள்ளி என எடுத்துக்கொண்டும் நிறுவலாம்.)

$\exists \,\delta >0,$ $(x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )\subset (a,b)$

$f(x_{0})\geq f(x)\,\forall x,$ $\displaystyle |x-x_{0}|<\delta$.

எனவே $h\in (0,\delta )$ எனில்:

${\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\leq 0.$ என்பது உண்மை.

$\displaystyle h$ -ன் மதிப்பு பூச்சியத்துக்கு மிக அருகில் அணுகும்போது இந்த விகிதத்தின் எல்லை மதிப்பு காணமுடியக் கூடியதாகவும் $\displaystyle f'(x_{0})$ க்குச் சமமாகவும் இருக்கும்.

எனவே

$f'(x_{0})\leq 0$..........1

மேலும் $h\in (-\delta ,0)$ எனில்:

${\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\geq 0.$

$\displaystyle h$ -ன் மதிப்பு பூச்சியத்துக்கு மிக அருகில் அணுகும்போது இந்த விகிதத்தின் எல்லை மதிப்பு காண முடியக்கூடியதாகவும் $\displaystyle f'(x_{0})$ க்குச் சமமாகவும் இருக்கும்.

எனவே

$f'(x_{0})\geq 0$............2

இவ்விரண்டு முடிவுகளிலிருந்தும்:

$\displaystyle f'(x_{0})=0.$

பயன்பாடுகள்

நுண்கணித முறையில் ஒரு சார்பின் பெருமம் மற்றும் சிறுமம் காணும் வழிகளில் ஃபெர்மா தேற்றம் முக்கியமான ஒன்று. ஒருபரிமாணத்தில் முகட்டு மதிப்புகள் காண்பதற்கு சார்பின் நிலைப் புள்ளிகள், முடிவுப் புள்ளிகள், வகையிடமுடியாத புள்ளிகள் ஆகியவற்றைக் கண்டுபிடித்துக் கொண்டு பின் அவற்றுள் எவை பெருமம் அல்லது சிறுமமாகும் என்பதை எளிதாகத் தீர்மானிக்கலாம். இதற்கு மேலேகூறப்பட்ட புள்ளிகளில் சார்பின் மதிப்புகளைக் கண்டுபிடித்து அவற்றிலிருந்து முகட்டு மதிப்புகளைத் தீர்மானிக்கலாம். அல்லது முதலாம் மற்றும் இரண்டாம் வகைக்கெழுச் சோதனைகள் மூலமும் தீர்மானிக்கலாம். ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட உயர்பரிமாணங்களுக்கு முதலாம் வகைக்கெழு சோதனையைப் பயன்படுத்த முடியாது. ஆனால் இரண்டாம் அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட வரிசை வகைக்கெழுச் சோதனையைப் பயன்படுத்தலாம்.

வெளி இணைப்புகள்

• Planet math article on Fermat's Theorem (stationary points)
• Planet math article on Proof of Fermat's Theorem (stationary points)

,