முதல் வகைக்கெழுச் சோதனை

வகை நுண்கணிதத்தில் முதல் வகைக்கெழுச் சோதனையானது (first derivative test), ஒரு சார்பின் மாறுநிலைப் புள்ளியில் அச்சார்புக்கு இடங்சார்ந்த பெரும அல்லது சிறும மதிப்பு உள்ளதா என்பதை அப்புள்ளியின் இருபுறமும் சார்பின் முதல் வகைக்கெழுவின் குறிகளைக் கொண்டு தீர்மானிக்கிறது. இச்சோதனை மூலம் ஒரு மாறுநிலைப்புள்ளி, இடஞ்சார்ந்த பெருமம் மற்றும் சிறுமம் இரண்டுமாக இல்லாமல் இருப்பதையும் அறிய முடியும்.

உள்ளுணர்வான விளக்கம்

சார்பின் ஆட்களத்தில் அமையும் ஒரு புள்ளியின் இருபுறமும் சார்பின் ஓரியல்புத் தன்மையை முதல் வகைக்கெழுச் சோதனை காண முற்படுகிறது.

ஒரு புள்ளிக்கு இருபுறம், சார்பு அதிகமான மதிப்பிலிருந்து குறைவான மதிப்பாக மாறினால் அப்புள்ளியில் சார்பின் மதிப்பு மிக அதிகமானதாக இருக்கும்.

இதேபோல் சார்பு புள்ளியிக்கு இருபுறத்தில் குறைவான மதிப்பிலிருந்து அதிகமான மதிப்பாக மாறினால் அப்புள்ளியில் சார்பின் மதிப்பு மிகக் குறைந்ததாக இருக்கும்.

மாறாக சார்பு கூடும் சார்பிலிருந்து குறையும் சார்பு அல்லது குறையும் சார்பிலிருந்து கூடும் சார்பாக மாறாமல் ஓரியல்பாகவே இருக்குமானால் சார்புக்கு மிக அதிகமான அல்லது மிக குறைந்த மதிப்பு அப்புள்ளியில் அமையாது.

ஓரியல்புப் பண்புகள்

x புள்ளியைக் கொண்ட இடைவெளியில் மெய்யெண் மாறியில் வரையறுக்கப்பட்ட மெய்மதிப்புச் சார்பு $f\,$ என்க..

• சார்பு $f\,$, $(x-r,x]\,$ இடைவெளியில் கூடும் சார்பாகவும் $[x,x+r)\,$ இடைவெளியில் குறையும் சார்பாகவும் இருக்குமாறு ஒரு நேர்ம எண் r இருக்குமானால், $f\,$ -க்கு x -ல் இடஞ்சார்ந்த பெரும மதிப்பு உண்டு.
• சார்பு $f\,$, $(x-r,x]\,$ இடைவெளியில் குறையும் சார்பாகவும்; $[x,x+r)\,$ இடைவெளியில் கூடும் சார்பாகவும் இருக்குமாறு ஒரு நேர்ம எண் r இருக்குமானால், $f\,$ -க்கு x -ல் இடஞ்சார்ந்த சிறும மதிப்பு உண்டு.
• சார்பு $f\,$, $(x-r,x]\,$ இடைவெளியில் திட்டமாக கூடும் சார்பாகவும் $[x,x+r)\,$ இடைவெளியிலும் திட்டமாக கூடும் சார்பாகவும் இருக்குமாறு ஒரு நேர்ம எண் r இருக்குமானால், $(x-r,x+r)\,$ இடைவெளியில், சார்பு $f\,$ ஒரு திட்டமாக கூடும் சார்பாகும். $f\,$ -க்கு x -ல் இடஞ்சார்ந்த பெரும மதிப்போ அல்லது சிறும மதிப்போ கிடையாது.
• சார்பு $f\,$, $(x-r,x]\,$ இடைவெளியில் திட்டமாக குறையும் சார்பாகவும் $[x,x+r)\,$ இடைவெளியிலும் திட்டமாக குறையும் சார்பாகவும் இருக்குமாறு ஒரு நேர்ம எண் r இருக்குமானால், $(x-r,x+r)\,$ இடைவெளியில், சார்பு $f\,$ ஒரு திட்டமாக குறையும் சார்பாகும். $f\,$ -க்கு x -ல் இடஞ்சார்ந்த பெரும மதிப்போ அல்லது சிறும மதிப்போ கிடையாது.
• முதல் இரண்டில் திட்டமாக கூடும் அல்லது திட்டமாக குறையும் சார்பாக இருக்க வேண்டும் என்பது வலியுறுத்தப்படவில்லை. ஏனென்றால் இடஞ்சார்ந்த பெருமம் அல்லது சிறுமத்திற்கு சமனின்மை திட்டமானதாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. (மாறிலிச் சார்பின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் இடஞ்சார்ந்த பெருமம் அல்லது சிறுமமாகக் கருதப்படுகிறது.)

முதல் வகைக்கெழுச் சோதனையின் கூற்று

முதல் வகைக்கெழுச் சோதனை இடை மதிப்புத் தேற்றத்தின் விளைவான கூடும்-குறையும் சோதனையைச் சார்ந்துள்ளது.

• $f\,$ -மெய்மாறியில் அமைந்த மெய்மதிப்புச் சார்பு. இச்சார்பின் ஆட்களத்தில் அமைந்த ஒரு மாறுநிலைப் புள்ளி x. x -ல் சார்பு $f\,$ தொடர்ச்சியானது மற்றும் x ஐக் கொண்டுள்ள திறந்த இடைவெளியில் வகையிடத்தக்கது.( x -ல் வகையிடத்தக்கதாக இல்லாமலும் இருக்கலாம்) என்க.
• $(x-r,x)\,$ இடைவெளியில் அமையும் ஒவ்வொரு y -க்கும் $\ f'(y)>0$ மற்றும் $(x,x+r)\,$ இடைவெளியில் அமையும் ஒவ்வொரு y -க்கும் $\ f'(y)<0$ என்றவாறு ஒரு நேர்ம எண் r இருக்குமானால் $f\,$ -க்கு x -ல் இடஞ்சார்ந்த பெருமம் உள்ளது.
• $(x-r,x)\,$ இடைவெளியில் அமையும் ஒவ்வொரு y -க்கும் $\ f'(y)<0$ மற்றும் $(x,x+r)\,$ இடைவெளியில் அமையும் ஒவ்வொரு y -க்கும் $\ f'(y)>0$ என்றவாறு ஒரு நேர்ம எண் r இருக்குமானால் $f\,$ -க்கு x -ல் இடஞ்சார்ந்த சிறுமம் உள்ளது.
• $(x-r,x)\,$∪ $(x,x+r)\,$ -ல் உள்ள ஒவ்வொரு y -க்கும் $\ f'(y)>0$f'(y) > 0, அல்லது $(x-r,x)\,$ ∪ $(x,x+r)\,$ -ல் ஒவ்வொரு y -க்கும் $\ f'(y)<0$ என்றவாறு ஒரு நேர்ம எண் r இருக்குமானால் $f\,$ -க்கு x -ல் இடஞ்சார்ந்த பெருமமோ அல்லது சிறுமமோ கிடையாது.
• மேலே கூறப்பட்டவற்றுள் எதுவுமே பொருந்தவில்லையெனில் முதல் வகைக்கெழுச் சோதனை பலனளிக்காது.(முதல் மூன்று நிபந்தனைகளுக்கும் பொருந்தாத சார்புகளும் உள்ளன)

பயன்பாடுகள்

பொறியியலில் இயற்பியல் உகமப்படுத்தல் கணக்குகளைத் தீர்ப்பதற்கு முதல் வகைக்கெழுச் சோதனை பயன்படுகிறது. முகட்டு மதிப்புத் தேற்றத்துடன் சேர்ந்து இச்சோதனை, மூடிய, வரம்புடைய மெய்மதிப்புச் சார்புகளின் மீப்பெரு பெருமம் மற்றும் மீச்சிறு சிறுமம் காணப் பயன்படுகிறது. குழிவுத்தன்மை, வளைவுமாற்றுப் புள்ளி, அணுகுகோடுகள் போன்றவற்றுடன் சேர்ந்து ஒரு சார்பின் வரைபடத்தை வரைவதற்குப் பயன்படுகிறது.

உயர்நிலைப் பள்ளி கணிதப் பாடப்புத்தகங்களில், முதல் வகைக்கெழுச் சோதனை சார்புகளின் மீப்பெரு பெருமம் மற்றும் மீச்சிறு சிறுமம் காண பயன்படுத்தப்படுகிறது. $\ f^{\prime }(x)=0$ சமன்பாட்டைத் தீர்த்து மாறுநிலைப் புள்ளிகள் காணப்படுகிறது. பின்பு அப்புள்ளிகளிலும் சார்புக்கு ஆட்களத்தில் இடைவெளி கொடுக்கப்பட்டிருந்தால் அதன் முனைப் புள்ளிகளிலும் சார்பின் மதிப்புகள் கணக்கிடப்படுகின்றன. பின் அம்மதிப்புகளுள் மிக அதிகமான மதிப்பு மீப்பெரு பெரும மதிப்பாகவும் மிகச் சிறிய மதிப்பு மீச்சிறு சிறும மதிப்பாகவும் எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது.

இடஞ்சார்ந்த பெருமம் மற்றும் சிறுமம் காண்பதற்கு முதல் வகைக்கெழுச் சோதனையைவிட இரண்டாம் வகைக்கெழுச் சோதனை விரைவாகவும் துல்லியமாகவும் பயன்தரக் கூடியது.